¿Algún método para resolver este sistema de EDO?

Question

Intento resolver este sistema de EDOs:

$$ \frac{dQ_1 (t)}{dt} = - a \sin (\omega t) Q_2(t) + b \cos(\omega t) Q_3(t) $$

$$ \frac{dQ_2 (t)}{dt} = - a \sin (\omega t) Q_1 (t) - c Q_3(t) $$

$$ \frac{dQ_3 (t)}{dt} = c Q_2(t) - b \cos(\omega t) Q_1(t) $$

con una constante $a, b, c$ .

En términos de vectores RHS es sólo la producción cruzada de $P = \{ c, b \cos(\omega t), a \sin(\omega t)\}$ y $Q$ vectores.

¿Existe algún método analítico para resolver este sistema, al menos aproximadamente?. Por ejemplo, si $a, b, c \ll \omega$ .

Answer 1

Se trata de un sistema lineal variable en el tiempo de la forma $$\frac{dQ}{dt}=A(t)Q(t)$$ con solución $$Q(t)=\Phi(t,0)Q(0)$$ donde $\Phi(t,t_0)$ es la matriz de transición que se calcula mediante la serie (convergente) $$\Phi(t,t_0)=\mathbb{I}+\int_{t_0}^t{A(s_1)ds_1}+\int_{t_0}^t{A(s_1)\int_{t_0}^{s_1}{A(s_2)ds_2}ds_1}+\cdots$$ Tenga en cuenta que en este caso $$A(t)=A_1+A_2\sin(\omega t)+A_3\cos(\omega t)$$ Por tiempos $t$ que son múltiplos del período $2\pi/\omega$ todas las integrales con $A_2, A_3$ los términos son cero y la serie anterior toma la forma $$\Phi\left(\frac{2k\pi}{\omega},0\right)=\mathbb{I}+A_1\frac{2k\pi}{\omega}+\frac{1}{2!}A_1^2\left(\frac{2k\pi}{\omega}\right)^2+\cdots=e^{\frac{2k\pi}{\omega}A_1}\:,\quad\forall k=0,1,\cdots $$ Así, $$Q\left(\frac{2k\pi}{\omega}\right)=e^{\frac{2k\pi}{\omega}A_1}Q(0)=\left[\matrix{Q_1(0) \\ m\cos(\frac{2ck\pi}{\omega}+\phi)\\ m\sin(\frac{2ck\pi}{\omega}+\phi)}\right]\:,\quad\forall k=0,1,\cdots $$ con $m,\phi$ en función de los valores iniciales $Q_2(0),Q_3(0)$ .

Para los demás puntos $t\neq 2k\pi/\omega$ tenemos $$\Phi(t,0)=\Phi\left(t,\frac{2\pi}{\omega}\bigg\lfloor\frac{\omega t}{2\pi}\bigg\rfloor\right)\Phi\left(\frac{2\pi}{\omega}\bigg\lfloor\frac{\omega t}{2\pi}\bigg\rfloor,0\right)=\Phi\left(t,\frac{2\pi}{\omega}\bigg\lfloor\frac{\omega t}{2\pi}\bigg\rfloor\right)e^{\frac{2\pi}{\omega}\big\lfloor\frac{\omega t}{2\pi}\big\rfloor A_1}$$ Así pues, para los puntos intermedios tenemos que calcular la matriz de transición en un intervalo de tiempo inferior al periodo $2\pi/\omega$ . Una solución de forma cerrada puede ser tediosa de derivar pero podemos discutir el comportamiento cualitativo de las soluciones.

Podemos demostrar, por ejemplo, que $\|Q(t)\|$ está acotado. Utilizando el hecho de que $\|A(t)\|<\delta$ para todos $t\geq0$ para algunos $\delta>0$ podemos demostrar que $$\|\Phi(t_2,t_1)\|\leq e^{\delta(t_2-t_1)} \:,\quad \forall t_2\geq t_1\geq 0$$ Por lo tanto, $$\left\|\Phi\bigg(t,\frac{2\pi}{\omega}\bigg\lfloor\frac{\omega t}{2\pi}\bigg\rfloor\bigg)\right\|\leq \exp\left(\frac{2\pi\delta}{\omega}\bigg(\frac{\omega t}{2\pi}-\bigg\lfloor\frac{\omega t}{2\pi}\bigg\rfloor\bigg)\right)\leq \exp\left(\frac{2\pi\delta}{\omega}\right)$$ y por lo tanto $$\|Q(t)\|\leq \exp\left(\frac{2\pi\delta}{\omega}\right)\sqrt{Q_1^2(0)+m^2}$$

También $\|dQ/dt\|$ está limitada por una constante que no aumenta cuando $\omega$ aumenta. En realidad $$\bigg\|\frac{dQ}{dt}\bigg\|\leq \|A(t)\|\|Q(t)\|\leq \delta \exp\left(\frac{2\pi\delta}{\omega}\right)\sqrt{Q_1^2(0)+m^2}$$ Si asumimos ahora que $\omega$ aumenta entonces los puntos $2k\pi/\omega$ se acercan mientras que las variaciones permitidas determinadas por $\|dQ/dt\|$ permanecen acotados. Esto explica por qué cuando $\omega\rightarrow\infty$ $$ Q(t)\rightarrow e^{A_1t}Q(0)=\left[\matrix{Q_1(0) \\ m\cos(ct+\phi)\\ m\sin(ct+\phi)}\right]$$

Se puede ver en las figuras siguientes que a medida que $\omega$ aumenta el comportamiento descrito se produce.

Answer 2

Desde $\dot{Q}=P\wedge Q$ la norma del vector $Q$ se conserva. De hecho, $$\frac{d}{dt}\left( Q\cdot Q\right)=Q\cdot(P\wedge Q)+(P\wedge Q)\cdot Q=0.$$ Esto permite disminuir el número de grados de libertad en $1$ . Por ejemplo, podemos parametrizar $Q_{1,2,3}$ con ángulos esféricos: \begin{align*} Q_1&=R\cos\theta,\\ Q_2&=R\cos\phi\sin\theta,\\ Q_3&=R\sin\phi \sin\theta, \end{align*} donde $R$ es constante. Ahora el sistema se reduce a dos $1$ ecuaciones de primer orden para $\theta,\phi$ : \begin{align*} \dot{\theta}&=a\sin\omega t\cos\phi-b\cos\omega t\sin \phi,\\ \dot{\phi}&=c-\left(a\sin\omega t\sin\phi+b\cos\omega t\cos \phi\right)\cot\theta. \end{align*} Otras reflexiones : Una forma de reescribir el último sistema que puede resultar útil es la siguiente. Introduzca dos funciones \begin{align*} A(t)&=\sqrt{a^2\sin^2\omega t+b^2\cos^2\omega t},\\ \phi_0(t)&=\arctan\left(\frac{a}{b}\tan\omega t\right), \end{align*} y utilizar en lugar de $\phi$ una función traducida $\varphi:=\phi-\phi_0(t)$ . Entonces podemos escribir \begin{align*} \dot{\theta}&=-A(t)\sin\varphi,\\ \dot{\varphi}&=-A(t)\cos\varphi\cot\theta+c-\dot{\phi}_0(t). \end{align*} Además, si cambiamos la variable independiente $$t\mapsto s(t)=-\int^tA(t)\,dt,$$ terminamos con el sistema \begin{align*} \frac{d\theta}{ds}&=\sin\varphi,\\ \frac{d\varphi}{ds}&=\cos\varphi\cot\theta+C(s), \end{align*} donde $C(s(t))=\displaystyle\frac{\dot{\phi}_0(t)-c}{A(t)}$ . Esta es la forma más sencilla que he encontrado hasta ahora.

Caso especial $a=b$ : Aquí las expresiones anteriores se simplifican a $$A(t)=a,\qquad \phi_0(t)=\omega t, \qquad s(t)=-a t,\qquad C(s)=\frac{\omega-c}{a}.$$ Las ecuaciones de movimiento para $\theta$ y $\varphi$ son \begin{align*} \dot{\theta}&=-a\sin\varphi,\\ \dot{\varphi}&=-a\cos\varphi\cot\theta+\left(c-\omega\right). \end{align*} Presentando ahora \begin{align*} M_1&=\cos\theta,\\ M_2&=\cos\varphi\sin\theta,\\ M_3&=\sin\varphi \sin\theta, \end{align*} estas ecuaciones se pueden escribir como $$\dot{M}=B\wedge M,\qquad B=\left(\begin{array}{c} c-\omega \\ a \\ 0 \end{array}\right).$$ Este problema puede resolverse fácilmente. En el lenguaje de la física, describe Precesión de Larmor de un momento magnético en el campo magnético uniforme $B$ . La idea es girar el sistema de coordenadas de manera que $B$ se alinea a lo largo de uno de los ejes, entonces la proyección del momento sobre este eje se conserva, y en el plano ortogonal a él tendremos una rotación uniforme.

Aquí está la solución: \begin{align*} M_1&=a\left(\alpha\cos\omega_0t+\beta\sin\omega_0t\right)+\left(c-\omega\right)\gamma,\\ M_2&=-\left(c-\omega\right)\left(\alpha\cos\omega_0t+\beta\sin\omega_0t\right)+a\gamma,\\ M_3&=\omega_0\left(\beta\cos\omega_0t-\alpha\sin\omega_0t\right), \end{align*} donde $\omega_0=\sqrt{a^2+\left(c-\omega\right)^2}$ y $\alpha,\beta,\gamma$ son constantes arbitrarias que satisfacen $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\omega_0^{-2}.$$ De aquí no es difícil obtener la solución para $Q_{1,2,3}$ : \begin{align*} Q_1&=R\Bigl[ a\left(\alpha\cos\omega_0t+\beta\sin\omega_0t\right)+\left(c-\omega\right)\gamma\Bigr],\\ Q_2&=R\cos\omega t\Bigl[a\gamma-\left(c-\omega\right)\left(\alpha\cos\omega_0t+\beta\sin\omega_0t\right)\Bigr]-R\omega_0\sin\omega t\Bigl[\beta\cos\omega_0t-\alpha\sin\omega_0t\Bigr],\\ Q_3&=R\sin\omega t\Bigl[a\gamma-\left(c-\omega\right)\left(\alpha\cos\omega_0t+\beta\sin\omega_0t\right)\Bigr]+R\omega_0\cos\omega t\Bigl[\beta\cos\omega_0t-\alpha\sin\omega_0t\Bigr]. \end{align*}