¿$\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ $\mathbb{Q}$ es Galois?

Question

Necesito mostrar que la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ es Galois $\mathbb{Q}$, y calcular su grupo de Galois.

Yo estoy aprendiendo teoría de Galois por mí y se quedó atascado en este ejercicio. Sé que el Teorema fundamental de la teoría de Galois. Cualquier ayuda sería útil

Gracias

Answer 1

Deje $\alpha = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Una extensión de Galois si es separables y normales. Estas dos propiedades pueden ser resueltas teniendo en cuenta la mínima polinomio $p$ $\alpha$ ($p(x) = 0$).

Ahora $(\alpha^2 - 2)^2 - 2 = 0$ por lo que el polinomio mínimo es $x^4 - 4x^2 + 2$.

La extensión de Galois desde este polinomio no tiene raíces repetidas. Que es fácil de comprobar al calcular el mcd de a $p$ con su derivado $p'$.

Podemos mostrar la extensión es normal mostrando que $p$ divisiones en el campo de $\mathbb Q(\alpha)$. Las cuatro raíces de $p$ $\pm \sqrt{2 + \pm \sqrt{2}}$ así que si podemos construir $\alpha' = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ $\alpha$ tendríamos $p(x) = (x-\alpha)(x+\alpha)(x-\alpha')(x+\alpha')$.

Observar que:

• $\alpha^2 - 2 = \sqrt{2}$
• $1/\alpha = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^2 - 2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

por lo $\alpha' = (\alpha^2 - 2)/\alpha$.

Esto demuestra que la extensión de Galois.

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Ahora para calcular el grupo de Galois. La extensión puede ser tomada en dos, el grado dos pasos: primero se acuestan $\sqrt{2}$ (a raíz de $x^2-\sqrt{2}$)$\mathbb Q$, a continuación, una raíz de $x^2-(2+\sqrt{2})$. $$[\mathbb Q : \mathbb Q(\sqrt{2+\sqrt{2}})] = [\mathbb Q : \mathbb Q(\sqrt{2})] [ \mathbb Q(\sqrt{2}) : \mathbb Q(\sqrt{2+\sqrt{2}})] = 4.$$ so by Galois theory the group too should have order 4: The group must be $C_4$ or $C_2 \times C_2$.

Lo siguiente que debe buscar en los automorfismos en detalle para determinar qué tipo de grupo es esto. A partir de la teoría de Galois sabemos que el grupo actúa transitivamente sobre las raíces, es decir, hay una automorphism $\sigma$ que se asigna a $\alpha$ a cualquiera de las otras raíces.

Supongamos $\sigma (\alpha) = \alpha'$, $\sigma (-\alpha) = -\alpha'$ y el uso de la relación con la definición de $\alpha'$ calcular que $\sigma (\alpha') = -\alpha$. Por lo $\sigma$ ha pedido, generando $C_4$.