Un problema combinatorio sobre la partición de números

Question

Elija ocho números diferentes del uno al veinte, demuestre que debe existir seis números diferentes tales que$a+b+c=d+e+f$.

Como$\binom{20}{8}$ es solo$125970$, puedo hacerlo con fuerza bruta, pero eso no es una prueba.

Answer 1

Una búsqueda de fuerza bruta puede no ser particularmente satisfactoria como prueba, pero arroja el contraejemplo$$[ 1, 2, 4, 5, 13, 16, 17, 20 ].$ $

Esto se puede verificar usando el código GAP :

 counterexample:=[ 1, 2, 4, 5, 13, 16, 17, 20 ];
triples:=Combinations(counterexample,3);
pairs_of_disjoint_triples:=Filtered(Combinations(triples,2),p->Intersection(p[1],p[2])=[]);
0 in List(pairs_of_disjoint_triples,p->Sum(p[1])-Sum(p[2]));
 

que devuelve false .

Answer 2

Si elegimos 6 valores diferentes a, b, c, d, e, f entre 1-20, hay 51 valores posibles para a + b + c. Creo que tenemos que usar el director de "The pigeon hall" para resolver este problema