La prueba de condición necesaria para constructibility de un número

Question

Estoy leyendo una prueba de las condiciones necesarias para que un número real para ser edificable, y parece dejar de lado algunos detalles que realmente no puedo llenar. Esto es lo que entiendo hasta ahora.

Tenemos que probar que:

Si el punto de $(p, q)$ es construible con regla y compás a partir de los puntos de $(0, 0)$$(0, 1)$, $p$ $q$ pertenecen al campo de las extensiones de cuyos grados más de $\Bbb Q$ son potencias de $2$.

Podemos demostrar esto por inducción sobre el número de pasos necesarios para construir el punto. Para $0$, que acaba de establecer $F=\Bbb Q$.

Si suponemos que cada punto edificable en $n$ o menos se ajusta a la propiedad, a continuación, deje $(x, y)$ ser un punto edificable en $n+1$ pasos. Esto te llevará a $4$ (no necesariamente distintos) puntos para la construcción de un nuevo punto (dos para cada círculo/línea), y todos los $8$ de las coordenadas $x_1,...x_8$debe pertenecer a campos cuyos grados más de $\Bbb Q$ son todos los poderes de $2$. Podemos expresar $x$ $y$ como raíces de lineal o cuadrática de polinomios con coeficientes en $\Bbb Q(x_1,...x_8)$. Por lo tanto $x$ $y$ a que ambos pertenecen a los campos de grado en la mayoría de las $2$$\Bbb Q(x_1,...x_8)$.

Ahora el teorema se parece casi en llegar, a través de multiplicativity de grados, pero luego me di cuenta de que... ¿cómo puedo saber que $(\Bbb Q(x_1,...x_8)/\Bbb Q)$ es una potencia de $2$? Todo lo que sé es que $(\Bbb Q(x_1)/\Bbb Q),...(\Bbb Q(x_8)/\Bbb Q)$ son cada uno de los poderes de $2$, pero no veo la manera de que me dice nada acerca de la $\Bbb Q(x_1,...x_8)$.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Demostrar por inducción que los grados de los campos $K_n = \Bbb Q(x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n)$ es una potencia de $2$. Entonces deducir que $(\Bbb Q(x_n)/\Bbb Q)$ $(\Bbb Q(y_n)/\Bbb Q)$ son también un poder de $2$ porque se tiene que dividir $(K_n/\Bbb Q)$

Si $(x_n,y_n)$ se obtiene en la intersección de las $2$ líneas $x_n,y_n$ son solución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en $K_{n-1}$, y por lo $K_n = K_{n-1}$. Si $(x_n,y_n)$ se obtiene en la intersección de un círculo con una línea, o de dos círculos, $x_n,y_n$ son raíces de grado $2$ polinomios con coeficientes en $K_{n-1}$, y también hay una relación lineal $f(x_n,y_n,1) = 0$ donde los coeficientes son en $K_{n-1}$ por lo tanto $K_n = K_{n-1}$, $K_n$ es una extensión de grado $2$ $K_{n-1}$