Demostrar que el mapa de $f(z)=\frac{1}{z}$ envía cualquier línea en una línea o un círculo.

Question

Mostrar los casos en los que la imagen es una línea y el caso en el que la imagen es un círculo.

Entiendo que en representación de la ecuación de la línea de, ($ax+by+c=0$ $a,b,c\in\Bbb R$ $a,b\neq0$ en el mismo tiempo), como $pz+\overline {pz} +2c=0$ donde $p$ es un número complejo distinto de cero, debe ayudarme a alcanzar mi objetivo final en esta prueba. Sin embargo, no estoy seguro de cómo utilizar este hecho para hacerlo, así como la forma de justificar por qué debía pensar en la línea de esta manera.

Answer 1

En "coordenadas reales" el mapa puede ser escrito como $$ (x,y)\mapsto\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac {y}{x^2+y^2}\right) $$ La ecuación de una línea o un círculo es $$ \rho(x^2+y^2)+ax+by+c=0 $$ con algunas limitaciones:

• si $\rho=0$ (en línea), entonces cualquiera de las $a\ne0$ o $b\ne0$
• si $\rho\ne0$ (círculo), a continuación, $a^2+b^2-4c\rho>0$

Las dos condiciones se pueden unificar en $a^2+b^2-4c\rho>0$.

La transformada de la curva es $$ \rho\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{x}{x^2+y^2}+b\frac {y}{x^2+y^2}+c=0 $$ que se convierte en $$ c(x^2+y^2)+ax-by+\rho=0 $$ Este cumple la misma condición de $a^2+b^2-4\rho c>0$.

Answer 2

Primero de todo, creo que la rquation de la línea de $ax + by + c = 0$, cuando se escribe en términos de $z = x + iy$, debe ser

$\bar p z + p \bar z + 2c = 0, \tag{1}$

y no

$pz + \bar p z + 2c = 0; \tag{2}$

aquí $p = a + bi$. Para ver el problema con (2), tenga en cuenta que puede ser escrito

$(p + \bar p)z + 2c= 0, \tag{3}$

y que

$p + \bar p = (a + bi) + (a - bi) = 2a; \tag{4}$

por lo tanto (2) se convierte en

$2az + 2c = 0. \tag{5}$

Asumiendo $a \ne 0$, la única solución de (5) es

$z = -\dfrac{c}{a}; \tag{6}$

vemos que en este caso (5) representa el único punto (6), y no la línea

$ax + by + c = 0, \tag{7}$

y si $a = 0$, entonces (5) fuerzas de $c = 0$ y cualquier $z \in \Bbb C$ resuelve (5); en ninguno de los casos (2) representan una línea. (1), sin embargo, se ve fácilmente que es equivalente a (7), de la siguiente manera: con $p$ $z$ como en el anterior, se sigue que

$\bar p z = (a - bi)(x + iy) = (ax + by) + i(ay - bz), \tag{8}$

y, por lo tanto, desde

$p \bar z = \overline{\bar p z} \tag{9}$

tenemos a partir de (8) que

$\bar p z + p \bar z = 2(ax + by), \tag{10}$

de dónde

$\bar p z + p \bar z + 2c = 2ax + 2by + 2c; \tag{11}$

es fácil ver a partir de (11) que (1) y (7) representan la misma recta.

La concesión de que la correcta ecuación de una línea, en términos de $z = x + iy$, es (1), investigar la acción de $f(z) = 1/z$. Si $c \ne 0$, entonces es claro que (1) no pasa por el origen; $z \ne 0$ todos los $z$ satisfactorio (1). A continuación, $z \bar z \ne 0$ como bueno, y podemos escribir

$f(z) = \dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar z}{z \bar z} \tag{12}$

para cualquier $z \in \Bbb C$. Si aplicamos $f(z)$ en forma de: (12) a (1) obtenemos

$\bar p \dfrac{1}{z} + p \dfrac{1}{\bar z} + 2c = 0 \tag{13}$

o

$\bar p \dfrac{\bar z}{z \bar z} + p \dfrac{z}{z \bar z} + 2c = 0; \tag{14}$

multiplicando (14) aunque por $z \bar z = x^2 + y^2 \ne 0$ rendimientos

$\bar p \bar z + p z + 2c z \bar z = 0, \tag{15}$

lo que yo reclamo es la ecuación de un círculo proporcionado $c \ne 0$. A saber: con $z = x + iy$$p = a + bi$,

$pz = (a + bi)(x + iy) = (ax - by) + i(ay + bx), \tag{16}$

y ya

$\bar p \bar z = \overline{pz} \tag{17}$

vemos que

$\bar p \bar z + p z + 2c z \bar z = 2(ax - by) + 2c(x^2 + y^2), \tag{18}$

y con $c \ne 0$ así se puede inferir

$\dfrac{a}{c}x - \dfrac{b}{c}y + x^2 + y^2 = 0; \tag{19}$

hemos completado las casillas en $x$ $y$ por separado agregando $(a^2 + b^2)/4c^2$ a ambos lados:

$(x + \dfrac{a}{2c})^2 + (y - \dfrac{b}{2c})^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{4c^2}. \tag{20}$

Puesto que, por hipótesis de $a^2 + b^2 \ne 0 \ne c$, (20) describe un círculo de no-cero radio $\sqrt{(a^2 + b^2/4c^2}$ centrada en $(-a/2c, b/c)$. Este cubre el caso en el $c \ne 0$.

Si $c = 0$, $z = 0$ es una solución de (1) y sólo podemos utilizar (12) lejos de la $0$; de hecho, la precaución debe ser tomada con la transformación de $f(z) = 1/z$ desde $0$ debe ser tratado por separado. Para $z \ne 0$ podemos establecer $c = 0$ (18) y por lo tanto deducir que

$ax - by = 0; \tag{21}$

esta es la ecuación de una recta que pasa por el origen, normal al vector $(a, - b)$, ya que (21) puede ser escrita

$(a, - b) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0. \tag{22}$

Al parecer, lejos de $0$, la transformación de $1/z$ mapas de la línea de $ax + by = 0$ (a partir de (1), (10)) para la línea de $ax - by = 0$; $0$ mapas para el llamado "punto en el infinito", que se asigna de nuevo a $0$. Resumimos:

$f(z) = \dfrac{1}{z}$ mapas

Líneas de no pasar por $0$ a los círculos;

y

Líneas de pasar throug $0$ a otras líneas que circulan a través de $0$.

Answer 3

vamos a w=u+iv=1/z, entonces z=1/w o x+iy=1/(n+i*v)

Por lo tanto x=u/(u^2 + v^2) y y=-v/(u^2 + v^2)

Ecuación de la circunferencia es x^2+y^2+2*g*x+2*f*y+c=0

Sustituto de x y y.

c(u^2 + v^2) + 2*g*m-2*f*v+1=0

Si c=0, representa una línea recta en el plano w.
Si c no es 0, entonces es un círculo.