Deje $k = 2008^2 + 2^{2008}$. ¿Cuál es el último dígito de la $k^2 + 2^k$?

Question

Deje $k = 2008^2 + 2^{2008}$. ¿Cuál es el último dígito de la $k^2 + 2^k.$

Pensé en esto $$2008^2+2^{2008}\pmod{10} ≡ {-2}^2+{2^4}^{502}\pmod{10} ≡ 4+{-4}^{502}\pmod{10} ≡ 4+6^{251} \pmod{10}$$ pero todavía no puedo probarlo. Tal vez hay una solución inteligente, pero hasta ahora he sido incapaz de reconocerla. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Desde la ciclicidad de $2$$2, 4, 8, 6$. Esto implica que para todos los $ n \in \mathbb{N}$.

$$2^{4n+1} \equiv 2 \mod 10 \\ 2^{4n+2} \equiv 4 \mod 10 \\ 2 ^{4n+3} \equiv 8 \mod 10 \\ 2^{4n+4} \equiv 6 \mod 10$$

Desde $2008$ es de la forma $4n$. Por eso, $2^{2008} \equiv 6 \mod 10$.

Pero $2008 \equiv 8 \mod 10 \implies 2008^2 \equiv 8^2 \equiv 64 \equiv 4 \mod 10$.

Por eso, $k = 2008^2 + 2^{2008} \equiv 4 + 6 \equiv 0 \mod 10 \implies k^2 \equiv 0 \mod 10$.

Ahora, $2^{2008} \equiv 0 \mod 4$ $2008 \equiv 0 \mod 4 \implies 2008^2 \equiv 0 \mod 4$.

$$k = 2^{2008} + 2008^2 \equiv 0 + 0\equiv 0 \mod 4 $$

Por eso, $k$ es de la forma $4n$ para algún entero positivo $n$. Así,

$$ 2^{k} \equiv 2^{4n} \equiv 6 \mod 10 $$

Por lo tanto, $$2^{k} + k^{2} \equiv 6 + 0 \equiv 6 \mod 10$$

Así, el último dígito de la $2^k + k^2$$6$.

Answer 2

$k$ es un gran número, por lo tanto $k^2+2^k$ es para asegurarse de que un número par. Para calcular el último dígito de la $k^2+2^k$, sólo necesitamos entender lo $k^2+2^k\pmod{5}$ es. Tenemos $k\equiv 0\pmod{4}$ y $$ k \equiv 3^2+4^{1004} \equiv -1+1\equiv 0\pmod{5}, $$ por lo tanto $k^2+2^k\equiv 0+1\equiv 1\pmod{5}$ por Fermat poco teorema, por lo que el último dígito de la $k^2+2^k$$\color{red}{6}$.

Answer 3

$$2008^2=2000^2+2*2000*8+8^2=>4 (mod 10)$$ $2^m=6 (mod 10) $ (m = $2008$) $$4+6=0 (mod 10)$$ $$ k=0 (mod 10)$$ $$ k^2=0 (mod 10)$$

Así, es obvio que el último dígito de la $2^k$ $2^4=6 (mod 10)$ y el último dígito de la $k^2$$0$. Así que la respuesta es $6+0=6$.