Usted lo pidió: El ejercicio es demostrar que esta representación es
reducible. La sugerencia me dice que para encontrar un común autovector para todos
6 matrices que se acaba de $(1,1,1)$. ¿Cómo debo proceder?
Cualquier ayuda es muy apreciada.
La representación es
irreductible
si y sólo si el correspondiente $FG$-módulo no tiene no trivial
$FG$-submódulo. Si usted ha arreglado para encontrar un común autovector
$v$, entonces usted tiene $vg=\lambda_g v$ por cada $g\in G$; que
implica que $\operatorname{span}(v)$ $FG$- submódulo.
En resumen: Buscando 1-dimensional submódulos es la misma cosa
como común en busca de vectores propios. Si su toda la $FG$-módulo de
tiene dimensión 3, es suficiente para saber si tiene un
1-dimensional submódulo, con el fin de decidir si es
irreducible o no.
Quizás vale la pena mencionar que el mismo enfoque funcionaría para cualquier $S_n$ y de que esta representación se llama permutación representación de $S_n$.
Otro hecho interesante es que la permutación de representación puede ser descompuesto en este trivial representación y una representación irreducible de grado $n-1$. Tenemos una pregunta acerca de esto en este sitio; enlace a esta MO hilo es que allí se indican en los comentarios.
Nota: Mi respuesta es más o menos la misma que la Benjalim la respuesta (que se elimina en el momento, por lo que es visible sólo para los 10k+ usuarios), con la excepción de que mi respuesta utiliza módulos y su respuesta evita módulos y sólo utiliza representaciones. (Ambos enfoques, $FG$-módulos y representaciones, son equivalentes en el sentido de que podemos conseguir módulo de representación y viceversa. Por lo tanto podemos describir las propiedades de representación utilizando las propiedades de la correspondiente $FG$-módulo).
