La reducción de dimensionalidad, la proyección de los puntos en un hyperplane

Question

Imagina un $N$ dimensiones de espacio vectorial. Hay varios puntos que hay en ella. Puedo recoger $m<N$ de ellos. Forman una hyperplane en el $N$ dimensiones de espacio vectorial. Por ejemplo $N = 10$, $m = 2$. Ahora quiero proyectar todos los puntos de esta $m$ dimensiones hyperplane para que yo pueda trabajar en $m$ (o, como en el ejemplo en $2D$). ¿Cómo puedo hacer eso?

Answer 1

Dicen que has elegido $m$ $N$-vectores $v_1, ..., v_m$ que definen la proyección del subespacio. Usted puede construir un orhonormal base $e_1, ..., e_k$, en este subespacio uso de las bacterias Gram–Schmidt proceso. El proceso termina después de$k$, $k \le m$, e $k = m$ si y sólo si los vectores son linealmente independientes. Después de tener la base ortonormales proyectar un vector $x$ en el subespacio:

$$x = <x, e_1> e_1 + ... <x, e_k> e_k$$

es decir, el producto escalar $<x, e_i>$ es la coordenada de $x$ $e_i$ eje.