Demostrando $\gcd( m,n)$=1

Question

Si $a$ $b$ co el primer y el $n$ es un número primo, muestran que:

$\frac{a^n+b^n}{a+b}$ $a+b$ no tienen ningún factor común a menos $a+b$ es un múltiplo de a $n$

También me ilumine por qué $n$ tiene que ser el primer fin de que $\frac{a^n+b^n}{a+b}$ $a+b$ no tienen ningún factor común, a menos que $a$+$b$ es un múltiplo de a $n$?

Answer 1

Por extraño $n$, tenemos

$$\frac{a^n+b^n}{a+b} = a^{n-1} - a^{n-2}b +-\dotsb -ab^{n-2} + b^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k a^{n-1-k}b^k.$$

La última suma se puede escribir como

$$\left(\sum_{k=0}^{n-2} (-1)^k(k+1)a^{n-2-k}b^k\right)(a+b) + (-1)^{n-1}nb^{n-1}$$

(verificación mediante la distribución de $(a+b)$ sobre la suma es de primaria). Así tenemos

$$\gcd\left(\frac{a^n+b^n}{a+b}, a+b\right) = \gcd \left(nb^{n-1},a+b\right) = \gcd(n,a+b),$$

el último, ya $\gcd(b,a+b) = \gcd(b,a) = 1$.

Así que si $n$ es una extraña prime, tenemos un factor común (es decir,$n$) si y sólo si $a+b$ es un múltiplo de a $n$. Por extraño compuesto $n$, podemos tener factores comunes también si $a+b$ no es un múltiplo de a $n$, es suficiente con que algún factor principal de $n$ divide $a+b$.

Para el primer $n = 2$, en general $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}$ no es un número entero. Para coprime $a,b > 0$, es sólo un número entero si $a = b = 1$.

Answer 2

Si te gusta la aritmética modular, tenga en cuenta que $$\tag 1 a\equiv -b\mod a+b$$

Ahora, desde la $n$ es impar $$\frac{{{a^n} + {{b }^n}}}{{a + b}}=\frac{{{a^n} - {{\left( { - b} \right)}^n}}}{{a - \left( { - b} \right)}} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{a^k}{{\left( { - b} \right)}^{n - k-1}}} $$ and using $(1)$ $$\frac{{{a^n} + {{b }^n}}}{{a + b}} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{a^k}{a^{n - k - 1}}} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{a^{n - 1}}} = n{a^{n - 1}}$$

Ahora desde $(a,b)=1$ tenemos que $$(a,a+b)=(a,a+b\mod a)=(a,b)=1\implies (a^{n-1},a+b)=1$$ so it all reduces to $$(n,a+b)$$