Área de Formas Extrañas

Question

Empezar con un círculo que tiene un polígono regular inscrito en el interior de la misma. Colocar en la parte superior de una línea, de modo que uno de los vértices del polígono es tocar la línea. A continuación, imagina un círculo rodante de la línea hasta el próximo vértice está tocando.

¿Cuál es el área de la región comprendida entre la línea y girar el borde del polígono, la región no pasó por el borde? Lo que si es un 2-gon, el diámetro de la circunferencia?

Answer 1

La curva de $E$ estamos hablando es de una envolvente: Cada posición momentánea del movimiento del borde es tangente a $E$, e $E$ separa los puntos cubiertos por estas tangentes desde el descubierto puntos. Antes de que podamos hablar sobre el área bajo $E$ tenemos para apoderarse de ella.

Considere la posibilidad de un disco de radio $a>0$ a rodar en el $x$-eje. En el momento $t=0$ el disco está tocando la $x$-eje en el origen. En el disco está pintado de un acorde con la distancia $\rho>0$ desde el centro; en el momento $t=0$ este acorde es horizontal. A medida que el disco se mueve con velocidad angular $1$ a la derecha del punto medio de la $m$ de la cuerda está dada por $$m(t)=(-\rho\sin t+ a t, a-\rho\cos t)\ ,$$ y su dirección $u(t)$ está dado por $$u(t)=(\cos t,-\sin t)\ .$$ En el momento $t$ el acorde está en la línea $$\ell_t: \quad s\mapsto m(t)+s u(t)\qquad(-\infty< s<\infty)\ ,$$ resp. $$\ell_t: \quad s\mapsto(-\rho\sin t+ at+s\cos t, \ a-\rho\cos t-s\sin t)\quad=:f(t,s)\ .$$ Se obtiene la envolvente de esta familia de líneas $(\ell_t)_{t\in{\mathbb R}}$ al calcular el Jacobiano $$J_f(t,s)=s-a\sin t$$ y la determinación de los pares de $(t,s)$ para que este Jacobiana se desvanece. De ello se deduce que en cada una de las $\ell_t$ el punto de la envolvente (es decir, el punto donde $\ell_t$ toques $E$) es el punto de con $s=a\sin t$. Por lo tanto, obtener la envolvente $E$, parametrizadas por $t$, como $$\eqalign{E:\quad t\mapsto&(-\rho\sin t+ at+a\sin t\cos t, \ a-\rho\cos t-a\sin^2 t)\cr &=(at,0)+(a\cos t-\rho)(\sin t,\cos t)\ .\cr}\tag{1}$$ Como era de esperar la curva de $E$ llegará a las $x$-eje en el tiempo $T$ definido por $\cos T={\rho\over a}$.

El área de $A$ bajo la autoridad del director de arco de $E$ ahora se puede calcular por $$A=\int_{-T}^T y(t)\>x'(t)\>dt\ ,$$ mediante el cual usted tiene que conectar la representación $(1)$ de este arco.

Answer 2

Consulte el diagrama y se nota el ángulo variable $\theta$, lo que vamos a parametrise el problema.

En el diagrama, tenga en cuenta que la distancia vertical desde el borde más cercano de la plaza a la línea, se $y$. $x$ es la distancia horizontal recorrida a lo largo de la línea por el borde circular (esta es también la longitud de arco a lo largo de la circunferencia del círculo). Es claro que usted quiere encontrar la relación entre el $y$ $x$ y, a continuación, realizar la integración para encontrar el área bajo la curva.

Aplicando la regla del seno al triángulo en el diagrama con dos lados $R-y$ $R$ y dos ángulos $\theta$ $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ (y por lo tanto otro ángulo $\displaystyle \pi - (\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{3\pi}{4} - \theta$), se puede escribir:

$\displaystyle \frac{R-y}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{R}{\sin(\frac{3\pi}{4} - \theta)}$

De problemas y la simplificación, $\displaystyle y = R\left(1 - \frac 1{\sin\theta + \cos\theta}\right)$$x = R\theta$.

A partir de esto, usted puede conseguir fácilmente: $\displaystyle y = R\left(1 - \frac 1{\sin\frac xR + \cos\frac xR}\right)$

La integral indefinida $\displaystyle \int ydx$ es algo tedioso, pero cerrado de forma indefinida la integral existe. Lo puedes encontrar en Wolfram enlace

Los límites que se requieren para la integral definida para obtener el área de se $x = 0$ $\displaystyle x = \frac{R\pi}{2}$ (como el círculo de los rollos de manera que el siguiente vértice toca la línea, se ha ido a través de un cuarto de la circunferencia). Que da el valor de área $\displaystyle A = \frac 12R^2\left(\pi - 2\sqrt 2 \tanh^{-1}\left(\frac 1{\sqrt 2}\right)\right) \approx 0.324R^2$. No estoy seguro de cómo copiar y pegar el enlace al original resultado.