Fácil prueba de Atiyah-McDonald en el módulo de homomorphisms

Question

Deje $v \in \text{Hom}(M,M')$, Entonces si la inducida por el hom $\bar{v} : \text{Hom}(M',N) \to \text{Hom}(M,N)$ $f \mapsto f \circ v$ es inyectiva para todo $N$, $v$ es surjective.

Intento de la prueba 1. Una función es inyectiva si tiene una a la izquierda inversa, y surjective fib tiene un derecho de la función inversa. Deje $N = M'$. Lo que queremos es $v \circ g = \text{id}_{M'}$ algunos $g \in \text{Hom}(M',M)$. Lo que tenemos es que para todos los módulos $N$, $\bar{v} : f \mapsto f \circ v$ es inyectiva, es decir,. existe $\bar{g}$ tal que $\bar{g} \circ \bar{v} = \text{id}_{M'}$. Y.. estoy perdido.

Intento de prueba 2. Deje $v \in \text{Hom}(M,M')$, luego por hipótesis de $\bar{v}: \text{Hom}(M',N) \to \text{Hom}(M,N)$ es inyectiva para todos los módulos, $N$ lo que significa que no es $\bar{u} : \text{Hom}(M,N) \to \text{Hom}(M',N)$ tal que $\bar{u}\circ\bar{v} = \text{id}_{\text{Hom}(M',N)}$. Deje $N = M$ $\bar{u}$ ser tal.

Answer 1

Aplicar la propiedad a $p:M'\rightarrow N=\operatorname{coker v}$. Por definición,$p\circ v=0$, lo $p=0$ desde $\bar v$ es inyectiva. Esto significa exactamente $v$ es surjective.

Answer 2

Sugerencia: $v$ es surjective si y sólo si es un epimorphism en la categoría de módulos, es decir, para todos los módulos, $N$ y el módulo homomorphisms $f,g\colon M' \to N$ tal que $f \circ v = g \circ v$ tenemos $f = g$.

(Todo a través de un anillo fijo, por supuesto).

Edit: En una mirada más, mi primera sugerencia es simplemente una reformulación de lo que usted está tratando de demostrar. Así que ustedes agregar otro, esperemos que más útil, sugerencia: Utilice el cokernel de $v$.