Cuántas combinaciones posibles con el fin de reglas?

Question

Tengo estos valores de base "$a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4,c_1,c_2,c_3,c_4$" y tengo que encontrar cuántas formas diferentes puedo arreglar. Las reglas son estas, por ejemplo,$a_2$, no puede venir antes de $a_1$, todo tiene que estar en orden. lo mismo va para la b, y c de. Pero, por ejemplo, $b_1$ o $c_1$ puede venir antes de $a_2$ etc.

Aquí es incorrecta línea: $a_1,b_1$,$a_3$, $a_2$,$b_2,b_3,b_4,c_1,c_2,c_3,c_4,a_4$ // $a_3$ viene antes de $a_2$, así que no están en el orden correcto.

Aquí es correcta línea: $b_1,a_1,a_2,c_1,a_3,b_2,a_4,c_2,b_3,b_4,c_3,c_4$ // todo está bien.

Me gustaría saber, ¿hay alguna de las fórmulas que puede resolver esto?

Answer 1

Tome $4$ rojo palos, $4$ azul palos y $4$ amarillo palos y colocarlos en fila de a $12$ palos.

Las posiciones para el rojo pega puede ser elegido en $\binom {12}{4}$ maneras.

El azul palos para ser instalados en las ocho posiciones que queda, lo que se puede hacer en $\binom 84$ formas, y el amarillo de palos de ajuste en los cuatro puestos restantes. Esto es $\binom 44$ formas si te gusta estar ordenado.

El primer palo rojo es la posición de $a_1$, el segundo para $a_2$ etc. Los palos azules busque la $b_i$ y el amarillo de palos de la $c_i$. Es fácil ver que hay un bijection entre los dos tipos de arreglo de colores y letras - cada una determina a la otra.

Así que la respuesta es $$\binom {12}{4}\binom 84\binom 44=\binom {12}{4}\binom 84$$

Answer 2

Hay $12$ symboles, por lo $12!$ posibilidades a fin, sin tomar en cuenta las reglas. Deje $A$ ser el conjunto de todas estas secuencias.

Deje $S_4$ el grupo de permutaciones de 4 elementos. $(S_4)^3$ actúa en $A$, de la siguiente manera: Por ejemplo, supongamos $\sigma=(\sigma_a,\sigma_b,\sigma_c)\in(S_4)^3$, $$\sigma(b_1,a_1,a_2,c_1,a_3,b_2,a_4,c_2,b_3,b_4,c_3,c_4) =b_{\sigma_b (1)},a_{\sigma_a (1)},a_{\sigma_a (2)},c_{\sigma_c (1)},a_{\sigma_a (3)},b_{\sigma_b (2)},a_{\sigma_a (4)},c_{\sigma_c (1)},b_{\sigma_b (3)},b_{\sigma_b (4)},c_{\sigma_c (3)},c_{\sigma_c (4)}.$$ La correcta secuencias representante de cada órbita de este grupo de acción. Por lo que el número correcto de las secuencias es el número de órbitas: $$\mathrm{Card}(A)/\mathrm{Card}((S_4)^3)=12!/((4!)^3)=34\ 650.$$