¿Está el conjunto de Mandelbrot conectado por un camino?

Question

Se sabe que el conjunto de Mandelbrot está conectado, pero la cuestión de si está conectado por un camino está abierta. Pero, ¿cuál es el consenso/creencia general entre los matemáticos? No puedo convencerme de ninguna de las dos cosas porque soy bastante novato en topología y aún no tengo una buena intuición sobre la conectividad y la conexión de trayectorias.

Answer 1

No puedo hablar de toda la comunidad de la dinámica compleja, por supuesto.

Si eres nuevo en las nociones de conexión de trayectorias y conexiones locales, el conjunto de Mandelbrot podría no ser el mejor tema para ganar intuición, ya que, como has dicho, son áreas de investigación actuales y, por lo tanto, están más allá del alcance de un primer curso de topología.

Dicho esto, hay resultados (principalmente debidos a JC. Yoccoz, medallista Fields) que demuestran que el conjunto de Mandelbrot está localmente conectado en todos los puntos, excepto posiblemente en algunos puntos especiales (llamados parámetros infinitamente renormalizables; en términos generales, son aquellos puntos que están en infinitas copias pequeñas anidadas del conjunto de Mandelbrot). Esto parece un buen paso para demostrar la conjetura.

Nótese que los expertos no están tan interesados en esta cuestión por sí misma (conectividad local del conjunto de Mandelbrot), sino que están interesados en una conjetura llamada genericidad de la hiperbolicidad, que se sabe que es verdadera SI el conjunto de Mandelbrot es localmente conectado.

Ah, y por cierto, no creo que haya una manera fácil de convencerse de una manera u otra (a falta de leer varios trabajos de investigación sobre el tema).

En aras de la exhaustividad, he aquí un argumento en contra de la conjetura: se sabe que el análogo del conjunto de Mandelbrot para polinomios cúbicos (el locus de conectividad del conjunto de Julia) NO es localmente conectado.