Los operadores de $A$ tal que $e^A$ es la norma la preservación de

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach. $A$ un operador acotado. Podemos definir la exponencial de a $A$ por $$e^{A}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A^n}{n!},$$ que también es un operador acotado.

¿Hay alguna condición suficiente para el operador $A$ para asegurarse de que $e^{A}$ es una norma preservación de operador (isometría), es decir, $|e^Ax|=|x|$ todos los $x\in X$ ?

Si $X=\mathbb{C}$, obtenemos este si $A=a\in i\mathbb{R}$. Tal vez si mi intuición es correcta, tenemos también presente en el caso de $X=\mathbb{R^n}$ $A$ tiene todos sus autovalores puramente imaginarias.

Answer 1

La generalización natural de lo que se observa en el $\Bbb C$ es la condición $A^* = -A$ en cualquier espacio de Hilbert.

Answer 2

Es suficiente para suponer que el $(A-\lambda I)$ es invertible para todos los no-cero real $\lambda$, $\|(A-\lambda I)^{-1}\| \le 1/|\lambda|$ todos $\lambda$. Esta condición es equivalente a la condición de que $e^{tA}$ es la norma-la conservación de todos $t \ge 0$.

Esta condición se expresa en una manera que tiene de real o complejo de espacios de Banach, y creo que tiene de cerrado, densamente definido lineal de operadores, también. Si el espacio de Banach $X$ es complejo, entonces esta condición obliga a que el espectro de $A$ a ser un subconjunto del eje imaginario, y obliga a $\|(A-\lambda I)^{-1}\|\le 1/|\Re\lambda|$ todos los $\lambda$ que $\Re\lambda \ne 0$.

Observe que el $0$ operador satisface trivialmente de la indicada condición.

Si $B$ es un densamente definido selfadjoint operador lineal en un Complejo espacio de Hilbert $X$, $A=iB$ satisface esta desigualdad, lo cual es evidente por el teorema espectral.

Si $A$ es un complejo de $N\times N$ matriz, entonces el dijo condición de las fuerzas de $A$ tener una base de vectores propios puramente imaginarias o 0 autovalores. Sin embargo, no todos los $A$ satisfacer la indicada condición.

No es suficiente para $A$ tener imaginario espectro, aunque la condición de que me dijo, implica que $A$ debe tener imaginario espectro. Por ejemplo, supongamos $A^{2}=0$ algunos $n > 1$$A\ne 0$. El espectro de $A$$\{ 0\}$. Si fuera suficiente que el espectro de $\sigma(A)$ fueron en el eje imaginario, a continuación, $e^{zA}=I+zA$ tendría que ser la norma de la conservación de todos $z \in \mathbb{C}$. Esta $A$ no satisface la indicada condición, porque $$ (\lambda I-A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^{2}}A. $$

Referencia: http://en.wikipedia.org/wiki/Hille%E2%80%93Yosida_theorem#Hille-Yosida_theorem_for_contraction_semigroups