Supongamos $(H,(\cdot,\cdot))$ es un producto escalar del espacio y $||\cdot||$ es la norma inducida por el producto escalar.
Yo estoy tratando de describir todos los vectores que satisfacen $||x+y||^2 = ||x||^2+||y||^2$.
Claramente, si $(x,y) = 0$ es decir (x,y) son ortogonales, entonces la igualdad se satisface gracias a Pitágoras. Me pregunto si el contrario es cierto. Es decir, si $x,y$ satisfacer la igualdad, son necesariamente ortogonales? Sé que esto es cierto en los reales, sin embargo, en general, espacios de Hilbert, no estoy seguro.
He intentado una solución:$$||x+y||^2 = ||x||^2+||y||^2 \iff (x+y,x+y) = (x,x)+(y,y)$$
$$\iff (x,y) + (y,x) = 0$$
$$\iff (x,y) = 0 \text{ (real Hilbert space), or } (x,y)=-\overline{(x,y)}.$$
Así que si estamos en un verdadero espacio de Hilbert, a continuación, $(x,y)$ son ortogonales. Si estamos en un complejo espacio de Hilbert, $(x,y) = \lambda i$ de $\lambda$. Así que yo soy de pensar que no es cierto en general?
