la convergencia de una secuencia

Question

Ser $(x_n)_n\ge 1 $ tal que $x_1=1$ $x_{n+1}=x_n+\sqrt{x_n^2+1}$ por cada $n\ge 1$. Demostrar que la secuencia de $y_n=(2^n/x_n)_n \ge 1$ es convergente y encontrar s límite.

Ser positivo y decreciente, $y_n$ es claramente convergente. Pero encontrar*s límite realmente me puso intro problemas. alguna ayuda? Gracias!

Answer 1

Hint3:

$$ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta+1} $$ así $$ \cuna\frac{\theta}{2} = \frac{\cos\theta+1}{\sin\theta} = \cuna\theta+\csc\theta \\ =\cuna\theta+\sqrt{\cot^2\theta+1} $$ para $0<\theta<\pi$, por lo que el $\csc\theta>0$.

solución
Demostrar por inducción $$ x_n = \cuna\left(2^{n}\frac{\pi}{2}\right) $$ así que $$ y_n = 2^n \tan\left(2^{n}\frac{\pi}{2}\right) $$ que converge a $\pi/2$.

referencia
Las Matemáticas De La Revista, El Problema 1214:
solución publicado vol. 59, no. 2, abril, 1986, pág. 117

comentario
Este cálculo puede ser visto como:
El perímetro de un regular $2^n$-gon circunscrito alrededor de un círculo converge a la circunferencia del círculo.