Estoy trabajando a través de un curso de cálculo multivariable. Estoy ~5 años retirado de mi más reciente curso de cálculo, y ~10 años retirado de mi más reciente de la trigonometría del curso. Mientras que yo estoy entendiendo el nuevo material con bastante facilidad, sigo disparo en el material que estoy (comprensiblemente) espera que ya sabemos.
Un ejercicio de revisión es de:
Dibujar la curva de nivel para $f(x, y) = \frac{x}{x^2 + y^2}$ a los valores de $c = -2, 0, 4$.
Para $c = 0$, esto es trivial ($x = 0, y \ne 0$). Estoy teniendo un poco más de problemas con el resto de los valores. Puedo mirar en la parte de atrás del libro y ver que las formas son dos círculos. Pero cuáles son los signos que estoy buscando para decirme esto?
Me puede simplificar la ecuación de la curva de nivel a algo como esto:
$$c = \frac{x}{x^2 + y^2}$$ $$c(x^2 + y^2) = x$$ $$cx^2 - x + cy^2 = 0$$ $$cy^2 = -cx^2 + x$$ $$y^2 = -x^2 + \frac{x}{c}$$ $$y = \pm \sqrt{-x^2 + \frac{x}{c}}$$
Para $x \ne 0, c \ne 0$.
Recuerdo también que las ecuaciones como ésta describe una elipse:
$$a(x - x_0)^2 + b(y - y_0)^2 = r^2$$
Supongo que hay una forma similar que representa la posibilidad de una $x$ plazo. Pero no estoy seguro de cómo ir sobre la determinación de esta forma.
Este problema no se asignan como tarea para casa, pero estoy marcado como una tarea de todos modos, porque se refiere a una clase que estoy tomando.
