Los límites de una función con $\mathrm{cn}(x,k)$

Question

Dado $$f(x) = \frac{1 - \mathrm{cn}(x,k)}{{\sqrt3}(1+\mathrm{cn}(x,k)) - 1 + \mathrm{cn}(x,k)}$$ qué sería de $$\lim_{x\to 0} f(x)$$ y $$\lim_{x\to\infty} f(x)$$ cuando $$k=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}?$$

Answer 1

He aquí un L'Hôpital-libre de la manera de hacer las cosas:

Podemos reorganizar la expresión un poco:

$$f(x)=\left({\sqrt3}\frac{1+\mathrm{cn}(x,k)}{1 - \mathrm{cn}(x,k)} - 1\right)^{-1}$$

el uso de este,

$$f(x)=\left({\sqrt3}\mathrm{cd}^2\left(\frac{x}{2},k\right)\mathrm{ns}^2\left(\frac{x}{2},k\right) - 1\right)^{-1}$$

y transformar la espalda

$$f(x)=\frac{\mathrm{sn}^2\left(\frac{x}{2},k\right)}{\sqrt3 \mathrm{cd}^2\left(\frac{x}{2},k\right)- \mathrm{sn}^2\left(\frac{x}{2},k\right)}$$

y desde $\mathrm{sn}(0,k)$ $0$ mientras $\mathrm{cd}(0,k)$ es $1$, $f(0)=0$.

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He aquí otra manera de hacerlo

$$\lim_{x\to 0} \left({\sqrt3}\frac{1+\mathrm{cn}(x,k)}{1 - \mathrm{cn}(x,k)} - 1\right)^{-1}$$

Recuerde que $\mathrm{cn}(x,k)=\cos(\mathrm{am}(x,k))$ donde $\mathrm{am}(x,k)$ (el Jacobiano de la amplitud) es la inversa de la incompleta integral elíptica de primera especie; es decir,

$$\phi=\mathrm{am}(x,k) \quad\leftrightarrow\quad x=F(\phi,k)$$

donde

$$F(\phi,k)=\int_0^\phi\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2t}}$$

Podemos determinar que $\mathrm{am}(0,k)=0$, por lo que podemos realizar una sustitución adecuada y considerar el límite

$$\lim_{t\to 0} \left({\sqrt3}\frac{1+\cos\,t}{1-\cos\,t}-1\right)^{-1}$$

por lo tanto,

$$\lim_{t\to 0} \left(\sqrt3\,\cot^2\frac{t}{2}-1\right)^{-1}=\lim_{t\to 0} \frac{\sin^2\frac{t}{2}}{\sqrt3\,\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}}=0$$

El procedimiento para el límite al infinito es similar (como $\phi\to\infty$, $F(\phi,k)\to\infty$ para $k^2 < 1$).

Answer 2

Para $x=0$, el uso de la serie de Taylor: $$ \mathrm{cn}(x,k) = 1 - \frac{1}{2} x^{2} + \Biggl(\frac{1}{24} + \frac{k^{2}}{6}\Biggr) x^{4} - \Biggl(\frac{1}{720} + \frac{11 k^{2}}{180} + \frac{k^{4}}{45}\Biggr) x^{6} + \operatorname{O} \bigl(x^{8}\bigr) $$ a la conclusión de que $$ \lim_{x\to 0}\frac{1 - \mathrm{cn} (x,k)}{\sqrt{3}(1 + \mathrm{cn} (x,k)) - 1 + \mathrm{cn} (x,k)} = \lim_{x\to0}\left[\frac{\sqrt{3}}{12} x^{2} + \Biggl(\frac{\sqrt{3}}{72} + \frac{1}{48} - \frac{\sqrt{3} k^{2}}{36}\Biggr) x^{4} + \operatorname{O} \bigl(x^{6}\bigr)\right] = 0 $$

Pero para $x \to \infty$ ... se ve como su expresión tiene una singularidad esencial en a $x=\infty$ desde su denominador tiene una secuencia de ceros que ir hasta el infinito.