Mostrar producto de $(r^5-r+2)$ durante los 5 raíces de $x^5+x^3+1=0$ $1$

Question

Deje $(a,b,c,d,e)$ ser las cinco raíces de $x^5+x^3+1=0$, y deje $g(x) = x^5-x+2$.

Probar $$ g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) = 1 $$

preferiblemente sin páginas de desorden álgebra.

Answer 1

Vamos a hacer algunos cálculos. Como se señaló en G. Sassatelli comentario, para que las raíces de nuestro polinomio,

$$x^5-x+2 - (x^5+x^3+1)=-x^3-x+1.$$ Uso división de polinomios para obtener $$x^2+1 + x^2(x^3+x-1)=x^5+x^3+1=0$$ y $$-(x^3+x-1)=(1+x^2)/x^2,$$ ya que ninguna de las raíces son cero. Darse cuenta de que $abcde=-1$, por lo que nuestro producto es equivalente a $$h(a)\cdots h(e)$$ con $h(x)=(1+x^2)$.

El uso de la división polinómica de nuevo:

$$(1+x^2)x^3+1=x^5+x^3+1=0$$

$$(1+x^2)=-1/x^3$$

Así que nuestro producto es equivalente a $$(-1)^5/(a^3b^3c^3d^3e^3)=1.$$

Por favor decirme si hay una señal de error.

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Creo que hay una especie de algoritmo de euclides detrás de todo esto aquí, que te permitirá calcular $g(a)\cdots g(e)$ cualquier $g$.

Answer 2

Edit: me indebidamente la identidad de Bezout. Se aplica para el polinomio de campo $Q[x]$, no el polinomio anillo de $Z[x]$ porque no es un PID. El siguiente es válido si sucede $b(x) \in Z[x]$. Lo que hace en la OP del caso.

Teorema: Supongamos $f,g \in Z[x]$$\gcd(f,g)=1$. Entonces $$\prod_{f(\alpha)=0} g(\alpha) = \pm 1.$$

Prueba: Debido a que el mcd es 1, tenemos $$a(x)f(x)+b(x)g(x)=1.$$ Por lo tanto, si $f(\alpha)=0$,$b(\alpha)g(\alpha) =1$. Y por lo tanto

$$\prod_{f(\alpha)=0} b(\alpha) \cdot \prod_{f(\alpha)=0} g(\alpha) = 1.$$

El producto de $g(\alpha)$ tiene que ser entero, ya que es simétrica y puede ser escrito en términos de los coeficientes de $f$. Asimismo, para el producto de la $b(\alpha)$. Lo anterior implica entonces que

$$\prod_{f(\alpha)=0} g(\alpha) = \pm 1.$$ QED.

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En esta pregunta del caso, es fácil mostrar que el mcd de los correspondientes polinomios es 1. Lo que queda es encontrar la señal. Estoy pensando en esto.

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También se dan cuenta, que si $f$ es irreductible, mientras $g$ no es un múltiplo de a$f$,$\gcd(f,g)=1$. También se dan cuenta de que para $\gcd(f,g)=a(x)$ $a(x)$ no constante, el producto debe ser igual a cero. El último caso, cuando se $\gcd(f,g)=c$, significa que el producto debe ser una potencia de $c$.

Answer 3

Por que la pregunta anterior, el resultado es un entero. Que entero? Sólo calcular numéricamente con la suficiente precisión, y redondear al entero más cercano. Yo voy a dejar a usted para estimar cuánta precisión es suficiente.

Alternativamente, es una forma muy rápida de cálculo en un sistema de Álgebra computacional, por ejemplo, Arce:

> simplify(product(r^5-r+2, r = RootOf(_Z^5+_Z^3+1)));

$$1$$

Answer 4

Solución parcial:

En el campo de número de $\mathbb{Q}(r)$, $-r^3-r+1$ es invertible,

$$(1+r^3)(-r^3-r+1)=1$$ mus

$N(-r^3-r+1)$ es una unidad de $N(-r^3-r+1)=\pm 1$

No sé cómo encontrar la señal.