Límite de funcionamiento del suelo

Question

Necesito ayuda para calcular este límite $$\lim_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\left(\dfrac{n}{k}-\left\lfloor\dfrac{n}{k}\right\rfloor\right)}}$$ He intentado usar sumas de Riemann pero no consigo nada útil

Answer 1

Denotando la parte fraccionaria de $x$ a través de $\{x\}$ las sumas de Riemann dan que el límite buscado es igual a

$$ \int_{0}^{1}\left\{\frac{1}{x}\right\}\,dx =\sum_{n\geq 1}\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\left(\frac{1}{x}-n\right)\,dx=\sum_{n\geq 1}\left[\log\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right]=\color{red}{1-\gamma}$$ desde $\sum_{n\geq 1}\left[\frac{1}{n}-\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=\gamma$ y $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+1)}=1$ .

Answer 2

Podemos reescribir la expresión en términos de dos secuencias/funciones bien estudiadas: $$\frac1n \sum_{k=1}^n \left(\frac{n}{k} - \left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor\right) = H_n - \frac1n D(n)$$ donde $H_n$ es el número armónico y $D(n)$ es el divisor función sumatoria .

Para grandes $n$ sabemos

$$H_n = \log(n) + \gamma + O(n^{-1})\quad\text{ and }\quad D(n) = n\log(n) + n(2\gamma - 1) + O(n^{1/2})$$

De ello se deduce $$H_n - \frac1n D(n) = \log(n) + \gamma - \frac1n(n\log n + n(2\gamma-1)) + O(n^{-1/2}) = 1 - \gamma + O(n^{-1/2})$$ Esto significa que el límite es $1 - \gamma$ . No tengo ni idea de cómo deducir esto del primer principio.

Answer 3

La suma de Riemann nos pide que evaluemos $\int_{0}^{1}{\frac{1}{x}-\lfloor \frac{1}{x}\rfloor dx}=\lim _{N\to \infty }\int_{1}^{N}{\frac{1}{x}-\frac{\lfloor x\rfloor }{x^{2}}dx}$ . La suma de Abel nos dice que $\int_{1}^{N}{A(u)f'(u)du=\sum_{n=1}^{N}{a_{n}f(n)-A(N)f(N)}}$ \donde $A(N)=\sum_{n=1}^{N}{a_{n}}$ . Establecer $f^{'}(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ , $f(x)=\frac{1}{x}$ , $a_{n}=1, A(N)=N$ para obtener $\int_{1}^{N}{\frac{\lfloor x\rfloor }{x^{2}}dx}=\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n}}-1$ y por lo tanto $\lim _{N\to \infty }\int_{1}^{N}{\frac{1}{x}-\frac{\lfloor x\rfloor }{x^{2}}dx}=\lim _{N\to \infty }\ln N-(\ln N+\gamma )+1=1-\gamma $ .