Aquí está una contribución de que trata el pleno del grupo de simetría del hipercubo, no rígidos movimientos. Este grupo puede ser obtenida mediante el etiquetado de los vértices del cubo con el $2^n$ cadenas de bits de longitud $n$ donde adyacencia es equivalente a tener un poco diferentes entre dos vértices. A continuación, se obtiene el total de vertex permutación grupo de la hipercubo mediante la combinación de bits mueve de posición de bit permutaciones por ejemplo, combinar un determinado bit flip con un particular permutación de los bits y el resultado es un automorphism. Una vez que tenemos estas permutaciones que podemos utilizar para calcular la inducida por la permutación de grupo en las dos caras.
Esto da el siguiente ciclo de índices para la cara de permutación de grupos que contienen rotaciones y reflexiones: para $n=2,$ $$a_{{1}},$$
para $n=3$,
$$1/48\,{a_{{1}}}^{6}+3/16\,{a_{{2}}}^{2}{a_{{1}}}^{2}+1/6\,{a_{{3}}}^{2}+1/16\,{a_{{1
}}}^{4}a_{{2}}+{\frac {7}{48}}\,{a_{{2}}}^{3}+1/8\,{a_{{1}}}^{2}a_{{4}}+1/6\,a_{{6}}
+1/8\,a_{{4}}a_{{2}},$$
para $n=4$,
$${\frac {1}{384}}\,{a_{{1}}}^{24}+1/32\,{a_{{1}}}^{6}{a_{{2}}}^{9}+1/12\,{a_{{3}}}^{8
}+{\frac {3}{64}}\,{a_{{1}}}^{4}{a_{{2}}}^{10}+{\frac {7}{32}}\,{a_{{4}}}^{5}{a_{{2}
}}^{2}+{\frac {1}{96}}\,{a_{{1}}}^{12}{a_{{2}}}^{6}+{\frac {3}{32}}\,{a_{{1}}}^{2}{un
_{{2}}}^{11}+1/12\,{a_{{3}}}^{4}{a_{{6}}}^{2}+1/32\,{a_{{1}}}^{4}{a_{{4}}}^{5}+1/16
\,{a_{{1}}}^{2}a_{{2}}{a_{{4}}}^{5}+1/6\,{a_{{6}}}^{4}+1/8\,{a_{{8}}}^{3}+1/32\,{a_{
{4}}}^{6}+{\frac {5}{384}}\,{a_{{2}}}^{12},$$
y para $n=5$,
$${\frac {1}{3840}}\,{a_{{1}}}^{80}+{\frac {1}{192}}\,{a_{{1}}}^{20}{a_{{2}}}^{30}+1/
48\,{a_{{1}}}^{2}{a_{{3}}}^{26}+{\frac {13}{384}}\,{a_{{2}}}^{36}{a_{{1}}}^{8}+{
\frac {37}{192}}\,{a_{{4}}}^{18}{a_{{2}}}^{4}+1/24\,{a_{{1}}}^{2}{a_{{3}}}^{6}{a_{{6
}}}^{10}+1/10\,{a_{{5}}}^{16}+{\frac {1}{768}}\,{a_{{1}}}^{32}{a_{{2}}}^{24}+1/24\,{
a_{{1}}}^{2}{a_{{3}}}^{10}{a_{{6}}}^{8}+1/40\,{a_{{2}}}^{40}+{\frac {1}{192}}\,{a_{{
1}}}^{8}{a_{{4}}}^{18}+1/32\,{a_{{1}}}^{4}{a_{{2}}}^{2}{a_{{4}}}^{18}+1/24\,{a_{{1}}
}^{2}{a_{{3}}}^{2}{a_{{12}}}^{6}+1/8\,{a_{{6}}}^{13}a_{{2}}+1/8\,{a_{{8}}}^{10}+1/10
\,{a_{{10}}}^{8}+{\frac {1}{64}}\,{a_{{1}}}^{4}{a_{{2}}}^{38}+1/48\,{a_{{1}}}^{2}{a_
{{3}}}^{2}{a_{{6}}}^{12}\\+1/32\,{a_{{4}}}^{20}+1/24\,{a_{{12}}}^{6}a_{{6}}a_{{2}} .$$
Estos producen directamente las siguientes fórmulas para el número de colores con en la mayoría de las $N$ colores. Para $n=2$, obtenemos $$N.$$ For $n=3$ obtenemos
$$1/48\,{N}^{6}+1/16\,{N}^{5}+3/16\,{N}^{4}+{\frac {13}{48}}\,{N}^{3}+{\frac {7}{24}}
\,{N}^{2}+1/6\,N, $$
para $n=4$ tenemos
$${\frac {1}{384}}\,{N}^{24}+{\frac {1}{96}}\,{N}^{18}+1/32\,{N}^{15}+{\frac {3}{64}}
\,{N}^{14}+{\frac {3}{32}}\,{N}^{13}+{\frac {5}{384}}\,{N}^{12}+1/32\,{N}^{9}+{
\frac {7}{48}}\,{N}^{8}\\+{\frac {7}{32}}\,{N}^{7}+{\frac {11}{96}}\,{N}^{6}+1/6\,{N}^
{4}+1/8\,{N}^{3},$$
y para $n=5$ hemos
$${\frac {1}{3840}}\,{N}^{80}+{\frac {1}{768}}\,{N}^{56}+{\frac {1}{192}}\,{N}^{50}+{
\frac {13}{384}}\,{N}^{44}+{\frac {1}{64}}\,{N}^{42}+1/40\,{N}^{40}+1/48\,{N}^{28}+{
\frac {1}{192}}\,{N}^{26}+1/32\,{N}^{24}+{\frac {37}{192}}\,{N}^{22}+{\frac {7}{96}}
\,{N}^{20}+1/24\,{N}^{18}+{\frac {29}{240}}\,{N}^{16}+1/8\,{N}^{14}+1/6\,{N}^{10}+{
\frac {17}{120}}\,{N}^{8} .$$
Nota que en el caso de $n=3$ es OEIS A198833.
Estos ciclo de los índices fueron calculados con el siguiente programa Arce.
con(planta, permutar);
con(planta, elija);
pet_autom2cycles :=
proc(src, aut)
numa local, numsubs;
local de marcas, pos, cycs, cpos, clen;
numsubs := [seq(src[k]=k, k=1..nops(src))];
numa := subs(numsubs, aut);
marcas := [seq(true, pos=1..nops(aut))];
cycs := []; pos := 1;
mientras pos <= nops(aut)
si las marcas[pos]
clen := 0; cpos := pos;
mientras que las marcas[cpos] ¿
marcas[cpos] := false;
cpos := numa[cpos];
clen := clen+1;
od;
cycs := [op(cycs), clen];
fi;
pos := pos+1;
od;
volver mul(a[cycs[k]], k=1..nops(cycs));
end;
hypercube_face_cind :=
proc(dim)
opción de recordar;
local verts, v1, v2, caras, f, ff, fv, k, m, b,
d2, pos, fpos, perm, fperm, actuar, s;
si dim=1, a continuación, volver a FALLAR fi;
verts := [];
para k de 2^dim 2^(dim+1)-1 ¿
b := convert(k, base, 2);
verts := [op(verdes), [seq(b[m], m=1..dim)]];
od;
caras := [];
para d2 en elegir(dim, 2) hacer
para k de 2^(dim-2) 2^(dim-1)-1 ¿
b := convert(k, base, 2);
f := [];
para ff en [[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]] ¿
fv := [seq(-1, pos=1..dim)];
fv[d2[1]] := ff[1];
fv[d2[2]] := ff[2];
fpos := 1;
pos a dim ¿
si fv[pos] = -1 entonces
fv[pos] := b[fpos];
fpos := fpos+1;
fi;
od;
f := [op(f), fv];
od;
caras := [op(caras), convertir(f, set)];
od;
od;
s := 0;
para k de 2^dim 2^(dim+1)-1 ¿
b := convert(k, base, 2);
para perm en permutar(dim) ¿
act :=
proc(v)
local w, m;
w := [seq(v[m], m=1..dim)];
para m dim ¿
si b[m]=1 entonces
w[m] := 1-w[m];
fi;
od;
w := [seq(w[perm[m]], m=1..dim)];
end;
fperm := map(x -> map(act, x), se enfrenta a);
s := s + pet_autom2cycles(caras, fperm);
od;
od;
s/2^dim/dim!;
end;
bs_Ninto_cind :=
proc(vN, ind)
local subs1, indvars, v, bote, res;
res := ind;
indvars := indets(ind);
subs1 := [seq(indvars[k]=vN, k=1..nops(indvars))];
subs(subs1, res);
end;
v :=
proc(dim)
opción de recordar;
bs_Ninto_cind(dim, hypercube_face_cind(dim));
end;
Este MSE enlace calcula otro cubo relacionadas con el ciclo del índice.