¿Cuáles son las poleas en el $G$-equivariant resoluciones visto como vector haces?

Question

$\newcommand{\F}{\mathcal{F}}$ Deje $\mathcal{F}$ $G$- equivariant gavilla más de un suave proyectiva $G$-variedad de $X$, generado por el mundial de secciones $s_1,...s_n$. Uno puede construir la primera localmente libre gavilla $\F_1$ en la resolución de $\F$. La gavilla es $\F_1=\Gamma(X, \F)$. Se define como $\Gamma(X, \F)(U)=\rho_{U,X} \Gamma(X,\F)$.

(Estoy tratando de simplificar una construcción dada en Guinzburg la Teoría de la Representación y de la Geometría Compleja de la página 241)

Desde esta gavilla se supone para ser localmente libre, ¿cuál es el vector paquete de más de $X$ de manera tal que la gavilla de las secciones es $\F_1$? En otras palabras, żcuál es el vector paquete que corresponde a $\F_1$?

Mi primer supongo que habría sido de $\epsilon^n$. Esto tiene el mismo mundial secciones. Pero, por desgracia, tiene diferentes secciones más abiertas. De hecho, el espacio de las secciones a través de cualquier conjunto abierto en $X$ va a ser de infinitas dimensiones, mientras que $\F_1$ tiene un número finito de dimensiones (en realidad, en la dimensión de menos de $n$) el espacio de las secciones más abiertas.

Answer 1

Si $X$ es una variedad más de un campo $k$, entonces uno puede tomar ${\cal F}_1 := \Gamma(X,{\cal F}) \otimes_k {\cal O}_X$. Uno obtiene el vector correspondiente paquete usando el estándar de construcción natural, como en EGA, por ejemplo, y sería isomorfo a una suma de un número finito de copias de la trivial vector paquete de rango 1.

Sería bueno para la reserva de la notación $\Gamma(X,{\cal F})$ $k$- espacio vectorial de global secciones de $\cal F$, y a adoptar una notación diferente para su gavilla.

Normalmente, la frase localmente libre gavilla es interpretada localmente libre gavilla de ${\cal O}_X$-Módulos, no localmente libre gavilla de $k$-módulos, que es lo que su definición parece proporcionar. Su definición propuesta, si tensored$k$${\cal O}_X$, puede funcionar, y que sería un poco más pequeño que el estándar de la elección anterior, cuando se $X$ no está conectado, que es tal vez lo que tenía en mente.

Observe que en esa página en el libro de Ginzburg ninguno de los producto tensor símbolos $\otimes$ están decoradas con el anillo: algunos son más de $k$, y algunos son más de ${\cal O}_X$; para el lector de la interpretación correcta.

Si $n$ es la dimensión de la $\Gamma(X,{\cal F})$$k$, $k^n$ es isomorfo a $\Gamma(X,{\cal F})$, pero el isomorfismo no es canónica, ya que depende de una elección de la base, así que lo mejor es evitar la identificación de los dos espacios vectoriales.

También, tenga cuidado acerca de la identificación de $\Gamma(X,{\cal O}_X)$$k$, ya que el mapa de $k \to \Gamma(X,{\cal O}_X)$ no puede ser un isomorfismo.

Lo mejor es referirse a una resolución de $\cal F$, en lugar de la resolución de $\cal F$, ya que hay muchos.