La comparación de la Categoría de Teoría y Modelo de Teoría (con ejemplos de la Teoría del Grupo).

Question

La siguiente pregunta que come mi cerebro: La definición estándar de una "categoría" y una lista de ejemplos siguiendo esta definición me confunde. Mi pregunta es simple:

(Q1)Si alguien escribe "la categoría de grupos finitos" ¿cuáles son los objetos de esta categoría? Seguramente, $\mathbb{Z}_6$ se encuentra en esta categoría. ¿Qué acerca de las otras instancias de $\mathbb{Z}_6?$ Lo prohíbe agregar copias extra de $\mathbb{Z}_6$ en los objetos? No hay "igualdad" de los objetos en "objetos" que no sea el "estándar de la igualdad de clase" de los objetos que los modelos de su teoría. Pero la teoría de un "objeto", no se incluye en la categoría. Permítanos formalizar la teoría de la $\mathbb{Z}_6$ grupos mediante la adición de condiciones adicionales a los axiomas de los grupos, de modo que si un grupo habitual satisface estas condiciones adicionales, a continuación, su isomorfo a $\mathbb{Z}_6.$ Ahora, es que cada modelo de estos abstracto condiciones en nuestra categoría? O no? ¿Se incluye el modelo teórico de la semántica de la categoría o no?

¿Qué categoría de la teoría de dar diferente que el modelo de la teoría, entonces?

(T2) Si alguien elige objetos de hasta isomorphisms entonces, ¿por qué un "functor" (debería ser de morfismos) se denomina isomorfismo? Vi en alguna parte que hay un mono que no es un monomorphism en el sentido usual de la palabra. Así hay , por ejemplo, grupos finitos, que son isomorfos en el sentido categórico, pero no isomorfos en el sentido normal? Por favor, tenga en cuenta que finito categoría de grupo es solo un ejemplo, te invitamos a añadir ejemplos interesantes.

Gracias.

Edit: "functor" de Q2 debe ser "de morfismos".

Answer 1

El natural de la noción de isomorfismo de las categorías no es isomorfismo (la existencia de dos functors que son inversos), pero la equivalencia. Una buena intuición para la equivalencia es que se comporta como homotopy equivalencia de los espacios. En particular, al igual que en muchos espacios diferentes, con diferentes conjuntos de puntos (en particular, los conjuntos de puntos con diferentes cardinalidades) puede ser homotopy equivalente, muchas categorías con diferentes conjuntos de objetos puede ser equivalente. Así, en la categoría de categorías, "el conjunto de objetos" no está bien definida, ya que no es invariante bajo la equivalencia, así como en la homotopy categoría, "el conjunto de puntos" no está bien definida, ya que no es invariante bajo homotopy de equivalencia.

Cuando alguien dice "la categoría de grupos," evitan la especificación de un conjunto particular de objetos y morfismos porque cualquier opción razonable da la misma categoría a la equivalencia. Por ejemplo, usted puede tomar

• La categoría cuyos objetos son los conjuntos de $G$ (dicen que en ZFC) equipado con mapas que etc. y cuyos morfismos son un grupo homomorphisms, o
• La categoría cuyos objetos son, a grandes rasgos, clases de isomorfismo de grupos y cuyos morfismos son un grupo homomorphisms

y las correspondientes categorías son equivalentes; el último es sólo el esqueleto de la antigua.

Answer 2

P1: Se incluyen todos los grupos finitos como objetos. Cualquiera de las dos copias de la misma finito grupo son isomorfos, pero no es igual. Tenga en cuenta que en la definición de una categoría, la clase de objetos no es necesario ser un conjunto, sino sólo de la clase de morfismos de un objeto a otro, está obligado a ser un conjunto.

Usted absolutamente no incluyen ningún modelo teórico de la noción alguna. Dado un lenguaje y una teoría, la categoría de los modelos de la teoría (con morfismos homomorphisms) es una categoría. Esa es la única relación entre estas dos nociones.

Modelo de la teoría y la categoría de la teoría se busca expresar cosas completamente diferentes. Es cierto que ambos dan una manera de hablar acerca de las matemáticas, pero para este no es su principal función. Modelo de la teoría se supone que es para uno para expresar nociones como provability, decidability, y para demostrar magníficamente no trivial de teoremas como el teorema de compacidad, y el Löwenheim-Skolem.

Categoría de la teoría es principalmente como una manera formal de la generalización de ideas topológicas. Por lo tanto, uno se pone extensiones de la noción clásica de homología, homotopy, y así sucesivamente. Aquí es donde se diferencian considerablemente de un modelo de teoría: el modelo de la teoría es completamente impotente cuando se trata de topología debido a que la definición de una topología requiere de segundo orden de la lógica.

P2: La definición de un isomorfismo en una categoría es una de morfismos $r:A\rightarrow B$ que tiene un morfismos $s:B\rightarrow A$ tal que $r\circ s=id_B$$s\circ r=id_A$. En muchos casos, esto coincide con su idea preconcebida de lo que es un isomorfismo "debe ser" (de hecho, si lo que usted desea de su morfismos a ser un isomorfismo para que solo se trate de uno a uno y sobre, entonces esto es cierto). Esto es sólo una definición, y sólo a veces concuerda con lo que se desea decir. Como Qiauchu observado, en la categoría de categorías de isomorfismo de las categorías no es lo que usted realmente desea ser considerado un isomorfismo. Pero la vida es dura esa manera. Lo mismo va para el mono y épica -- se trabaja a menudo con su intuición, pero muchas veces no.

Debe tener en cuenta que no todas las categorías son "concretos" (en el sentido de que sus objetos son conjuntos, y que sus morfismos son las funciones entre estos conjuntos): algunos pueden ser simplemente puntos con un montón de flechas, y una regla de composición. Así que en estas categorías concretas, su intuición para lo mono y épico a la media (por ejemplo) no tiene sentido! Para la categoría de definiciones tienen la ventaja de que son muy generales.

Espero que ayude de alguna manera.

Answer 3

Contexto necesario: En mi opinión, no es obligatorio base matemática de la teoría de conjuntos, aunque, por supuesto, las comparaciones y los debates son interesantes. Del mismo modo, creo que no es obligatorio para comparar categórico "fundaciones" con el conjunto de la teoría de la "fundaciones". En un extremo, Grothendieck encontrado que es necesario postular la existencia de muchas y muy grandes cardenales (ver Weibel "Homológica..."). En el otro extremo, de hecho, en este momento yo definitivamente no creo que la teoría de conjuntos refleja la práctica de las matemáticas. Exagerado categoría de la teoría no, tampoco. Yo no se preocupe acerca de "la categoría de conjuntos".

La categoría de grupos finitos incluye todos los grupos finitos... :) Sí, incluye diversas copias de la diedro grupo $D_4$, incluyendo las diferentes versiones pintadas de azul, rojo o amarillo. O copias que son del mismo color, sino que son "distintos".

Después de algunos años/décadas, me preocupo mucho menos acerca de la supuesta conjunto de los conjuntos que no se incluyen a sí mismos. Yo no quiero una lista de prohibiciones que también me impide de "formación", este conjunto. No quiero una prohibición en contra de cuchillos afilados cuando estoy cortando las verduras, incluso tho' puedo cortar mi. Yo no quiero una prohibición contra el agua, incluso tho' me puede ahogar a mí, en mi propio bañera por acostado boca abajo y respirar. Perversidades.

Así que, sí, allí están todas las copias de la misma isomorphy de clase de un grupo. Sí, si uno piensa en maneras de exprimir un paradójico parecer algo, probablemente, uno puede. Pero, ¿por qué? :)