Pregunta en la Intersección de la Teoría de Efectivo Divisores

Question

Estoy leyendo la Sección 1.1 C de Lazarsfeld "Positividad en la Geometría Algebraica I" y necesito ayuda para la comprensión de una línea.

En la Página 17, Observación 1.1.13(iii), dice lo siguiente:

Si $D_1,..., D_n$ son efectivos (Cartier) divisores de cumplir transversly en los puntos de curva de $X$ (donde $X$ es algo de irreductible completa variedad), entonces $$(D_1 \cdot ... \cdot D_n) = \#\{D_1 \cap \cdots \cap D_n\}$$

Estoy tratando de entender esta declaración. Supongo que primero debo entender la intersección de, digamos, $2$ divisores de Cartier, $D_1$ $D_2$...y luego ir desde allí a $n$ divisores. Puede alguien por favor me explique cómo la declaración en negrita anterior se aplica a los dos divisores de cartier $D_1=\{(U_i,f_i)\}$$D_2 = \{(V_j, g_j)\}$?

Answer 1

Primero de todo pensar acerca de $n$ general hyperplanes $H_1,\ldots,H_n$ sobre un espacio vectorial de dimensión $n$. General, la dimensión de su intersección es igual a cero, y así la intersección consiste finito de puntos (y, obviamente, a un solo punto). Así, podemos decir que el $(H_1\cdots H_n)=1$.

Esta intuición, básicamente, obras en general: la intersección de la $n$ general subvariedades de codimension 1 en una variedad $X$ es finito. Ahora, nosotros no solamente como para contar la cantidad de puntos en la intersección, pero queremos seguir la pista de la multiplicidad así. Por ejemplo, en $\mathbb{A}^2$, la línea de $y=0$ cruza la parábola $y=x^2$ a un punto, pero ya que es tangente a la parábola en $0$, nos gustaría pensar de esta intersección como una intersección con multiplicidad 2, y así nos gustaría tener a $(\{y=0\}\cdot\{y-x^2=0\})=2$. Este es un ejemplo en la dimensión 2.

En general, para la dimensión 2, se puede pensar en dos eficaz divisores oficialmente una suma de curvas en su superficie, y desde la intersección del producto va a ser multilineal, sólo tenemos que ver cuál es el punto de intersección de dos curvas irreducibles sería. Una transversal de intersección entre las dos curvas es esencialmente un punto donde la tangente a las líneas de la curva son diferentes (suponiendo que se encuentran en un punto suave). Si cada punto de intersección entre las dos curvas satisface esta, entonces no tiene que preocuparse acerca de la multiplicidad y sólo tenemos que contar los puntos en la intersección para definir la intersección número de las dos curvas.

A veces $n$ divisores no se intersecan en un número finito de puntos, y un Movimiento Lema nos asegura que podemos mover los divisores en sus lineales de clases de equivalencia de divisores que cruzan transversalmente (que es, en cada punto de intersección entre dos divisores, la suma de la de la tangente a los planos de cada divisor en ese punto, es el plano tangente a la variedad en ese punto), y así podemos contar los puntos (tener cuidado porque cuando se mueve el divisores, la eficacia puede ser perdido).