Geométricas visualización de covector?

Question

¿Cómo puedo visualizar geométricamente un funcional lineal?

Answer 1

Creo que la mejor visualización es el conjunto de hyperplanes donde alcanza valores de número entero (sí, técnicamente una hyperplane, como ese donde su valor es $1$, basta únicamente para especificar, pero el conjunto en mi humilde opinión es más intuitivo, y que es el punto entero de la visualización, ¿no?). Ellos son el igual valor hypersurfaces de la función lineal. Por supuesto, usted también tendrá especialmente marca la dirección en que está "arriba" (por ejemplo, dando el valor positivo de las superficies de un color diferente). El valor cuando se aplica a un vector es el número de la hyperplane donde termina (si termina en el medio, simplemente interpolar, o, alternativamente, creo que de un grano fino (como el milímetro líneas de en medio centímetro de líneas sobre una regla). O, alternativamente, el valor es el número de aviones que se cruza (de nuevo, con la interpolación/más fino subconjuntos).

Puede ver inmediatamente la linealidad del hecho de que son iguales separados y paralelos; un doble de tiempo del vector pasa a través de dos veces como muchos hyperplanes. Además, la multiplicación de un escalar es bastante obvio: Si se multiplica con $m/n$, consigue $m$ aviones en el mismo espacio que usted ha conseguido $n$ aviones antes. Y además de paralelo covectors es, básicamente, el relleno de los aviones de ambos covectors en el mismo espacio, pero igualmente espaciados.

Además de que no son paralelos covectors es sólo un poco más involucrados: básicamente tienes Que dibujar hyperplanes a través de todas las intersecciones de la hyperplanes de las dos agregan covectors. Sin embargo tienes que tener cuidado de hacerlo correctamente: El plano cero de la suma covector pasa a través de los cruces de positivo hyperplanes de uno, y negativo hyperplanes desde el otro término.

Tenga en cuenta que para esta representación no necesita asumir un producto interior (si lo hace en un espacio donde no hay una selección natural de interior del producto, su intuición podría ser engañados por dar importancia a la absoluta longitudes y ángulos en su visualización, que son simplemente de sentido en un espacio sin producto interior).

Answer 2

En el finito dimensionales caso de que usted siempre tiene que un funcional lineal corresponde a un único vector a través del producto interior $\psi(x) = \langle x,y \rangle$ algunos $y$, esto pasa hasta el infinito dimensional caso cuando usted tiene un producto interior en el espacio (Riesz Teorema de Representación)

Answer 3

Te doy un ejemplo de visualización geométrica: consideremos, por ejemplo, cualquier vector $v=(v_1,v_2)\in\mathbb R^2$ y los funcionales lineales

$$\varphi_1: \mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$$ $$\varphi_2: \mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$$

dado por $\varphi_1(v_1,v_2)=v_1$$\varphi_2(v_1,v_2)=v_2$. Usted puede visualizar como los funcionales que le proporcionan las proyecciones del vector dado. $v$ $x$- eje, resp. el $y$-eje.

Answer 4

En ${\Bbb{R}}^2$, siendo la $f:{\Bbb{R}}^2\to {\Bbb{R}}$ lineal, sus curvas de nivel son líneas perperdicular a el vector dado por ${\rm graf} f$.

En ${\Bbb{R}}^3$, siendo la $f:{\Bbb{R}}^3\to {\Bbb{R}}$ lineal, su nivel de superficies son planos perperdicular a el vector dado por ${\rm graf} f$.

Más detalles:

Me dijo que el nivel de los conjuntos son perpendiculares a la pendiente es porque en el caso de que el dominio es ${\Bbb{R}}^n$ luego de su covector debe ser de la forma $$f(x_1,x_2,...,x_n)=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n,$$ para algunas constantes $a_i$$\Bbb{R}$.

A continuación, la pendiente es constante $${\rm grad}f=[a_1,a_2,...,a_n].$$

En un conjunto de nivel de $f^{-1}(c):=\{q=(x_1,...,x_n):f(q)=c\}$ considere la posibilidad de un punto de $p\in f^{-1}(c)$ y una curva de $\alpha(t)$ tal que $$\alpha(0)=p$$ y $$\alpha'(0)=V$$ Se sabe que $V$ es tangente a la curva de $\alpha$$p$.

Así que por differentating $f\circ\alpha(t)=c$ va a llegar (después de evaluar a $t=0$) $${\rm grad}f(\alpha(0))\cdot\alpha'(0)=0$$ es decir, $${\rm grad}f(p)\cdot V=0$$ Que es $V$ es perpendicular a $[a_1,...,a_n]$.

Así, la curva de $\alpha$ $f^{-1}(c)$ tiene una tangente $\alpha'$ siempre es perpendicular a la $[a_1,...a_n]$ por lo que la curva de $\alpha$ es una línea en $f^{-1}(c)$.

Siendo esto para cada una de las $p$ y cada una de las $V$ entonces el nivel de $f^{-1}(c)$ es un hyperplane.

Con $n=2$ un nivel de línea. Con $n=3$ un nivel plano,... etcétera.

Answer 5

Aquí una foto del campo escalar se retrae sobre el plano, es la asignación de valores a.

Entonces, ¿qué son la base de los elementos de la covector? La tarea aquí es $$1 \cdot \mathrm{vert} + 4 \cdot \mathrm{horiz}$$; so I chose basis elements that match the $\vec{x}$'s base de los elementos. Si ha cambiado el 4 y 1 te gustaría cambiar la forma en que estos conjuntos de nivel "slant"...... (y esto sería isomorfo a la elección de la misma tasas de aumento , pero el cambio de la dirección de la tasa de aumento (diferentes).

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También se puede pensar en mover el covector como cambiar las ponderaciones de un promedio ponderado (suma, de verdad, pero promedios ponderados son más comunes en el habla corriente).