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Límite de la solución de una ecuación diferencial sin resolver la ecuación.

Dado $$x'(t)=A-B\left(x(t)\right)^2, \quad x(0)=0.$$ ¿Es posible encontrar $\lim\limits_{t\to\infty}x(t)$ sin ¿resolver la ecuación diferencial?

Suponiendo que $\lim\limits_{t\to\infty}x'(t)=0$ da $\lim\limits_{t\to\infty}x(t)=\sqrt{A/B}$ que es correcto, pero no consigo demostrar que el límite de la derivada es 0.

Si sirve de ayuda, la solución de las ecuaciones diferenciales es $$x(t)=\sqrt{\frac AB}\tanh\left(\sqrt{AB}t\right).$$

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Greg Elin Puntos 206

Puede utilizar el campo de dirección. Cuando $x=\sqrt{\frac{A}{B}}$ , $x'=0$ . Entonces demuestre que es el único punto de equilibrio estable para que $x\rightarrow\sqrt{\frac{A}{B}}$ como $t\rightarrow\infty$ con cualquier valor inicial.

Si $x>\sqrt{\frac{A}{B}}$ , $A-Bx^2 <0$ . Si $-\sqrt{\frac{A}{B}}<x<\sqrt{\frac{A}{B}}$ , $A-Bx^2>0$ . Esto demuestra que $x=\sqrt{\frac{A}{B}}$ es un equilibrio estable.

6voto

mickep Puntos 10981

Fui más lento que @KittyL, pero ya que había dibujado la figura real, me gustaría añadirla. Puedes ver esta respuesta como un complemento a lo que escribe KittyL, y te sugiero que aceptes la respuesta de KittyL en lugar de la mía.

En la figura/ejemplo he dejado $A=1$ y $B=1$ . Lo que se dibuja es el campo vectorial $(1,1-x^2)$ . Vemos que si iniciamos una solución $x(0)>-\sqrt{A/B}=-1$ (este es su caso, ya que $x(0)=0$ ) entonces tenderá al equilibrio estable $\sqrt{A/B}=+1$ . Si empezamos con $x(0)<-\sqrt{A/B}$ la solución $x(t)$ tenderá a $-\infty$ en un tiempo finito.

Esto suele ser parte de la asignatura de un primer curso de ecuaciones diferenciales ordinarias.

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