¿Cómo calcular este bonito determinante de forma inteligente?

Question

Dejemos que $$f(x):=a_1+a_2 \sin(x)+a_3 \sin(x)^2$$ $$g(x):=b_1+b_2 \sin(x)+b_3 \sin(x)^2$$ $$h(x):=c_1+c_2 \sin(x)+c_3 \sin(x)^2$$

entonces Mathematica muestra que el determinante de la matriz

$$\left(\begin{matrix} f(x) & g(x)& h(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \end{matrix} \right)$$ es sólo

$$2 (-a_3 b_2 c_1 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 + a_1 b_2 c_3) \cos(x)^2$$

lo cual es un resultado sorprendentemente sencillo dado que las expresiones de la regla de la cadena pueden llegar a ser bastante engorrosas.

Me gustaría saber, ¿hay una forma inteligente de concluir este resultado sin calcular explícitamente todo y reagrupar los términos para ver el resultado?

Answer 1

Esto se simplifica si dejamos que

$$u(x) = 1 \qquad v(x) = \sin(x) \qquad w(x) = \sin^2(x)$$

así que como la diferenciación es lineal,

$$\left(\begin{matrix} f(x) \\ f'(x) \\ f''(x) \end{matrix} \right) = a_1 \left(\begin{matrix} u(x) \\ u'(x) \\ u''(x) \end{matrix} \right) + a_2 \left(\begin{matrix} v(x) \\ v'(x) \\ v''(x) \end{matrix} \right) + a_3 \left(\begin{matrix} w(x) \\ w'(x) \\ w''(x) \end{matrix} \right)$$

y fórmulas similares son válidas para $g$ en términos de $b_i$ y $h$ en términos de $c_i$ 's. A partir de aquí podemos escribir

$$\left(\begin{matrix} f(x) & g(x)& h(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} u(x) & v(x)& w(x) \\ u'(x) & v'(x) & w'(x) \\ u''(x) & v''(x) & w''(x) \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} a_1 & b_1& c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{matrix} \right).$$

Llama a estas matrices $F$ , $U$ , $A$ por lo que esta ecuación se lee $F = UA$ . Concluimos $\det F = \det U \det A$ .

Podemos calcular fácilmente

$$\det U = \det \left(\begin{matrix} 1 & \sin(x) & \sin^2(x) \\ 0 & \cos(x) & 2\cos(x)\sin(x) \\ 0 & -\sin(x) & 2(\cos^2(x) - \sin^2(x)) \end{matrix} \right) = 2\cos^3(x)$$

así que $\det F = 2 \cos^3(x) \det A$ .

Answer 2

Usted tiene $$f(x)=p(\sin x),\ \ g(x)=q(\sin x),\ \ h(x)=r(\sin x)$$ para polinomios de tres grados dos. Entonces $$f'(x)=p'(\sin x)\cos x,\ \ f''(x)=p''(\sin x)\cos x-p'(x)\sin x.$$ Así que el determinante es \begin{align} $$\begin{vmatrix} p(\sin x)&q(\sin x)& r(\sin x)\\ p'(\sin x)\cos x&q'(\sin x)\cos x& r'(\sin x)\cos x\\ p''(\sin x)\cos^2 x-p'(\sin x)\sin x&q''(\sin x)\cos^2 x-q'(\sin x)\sin x&r''(\sin x)\cos^2 x-r'(\sin x)\sin x \end{vmatrix}$$ \\ \fin{align} Podemos descomponer esto como la suma de $$\begin{vmatrix} p(\sin x)&q(\sin x)& r(\sin x)\\ p'(\sin x)\cos x&q'(\sin x)\cos x& r'(\sin x)\cos x\\ p''(\sin x)\cos^2 x &q''(\sin x)\cos^2 x &r''(\sin x)\cos^2 x \end{vmatrix} = c^3\,\begin{vmatrix} p(\sin x)&q(\sin x)& r(\sin x)\\ p'(\sin x) &q'(\sin x) & r'(\sin x) \\ p''(\sin x) &q''(\sin x) &r''(\sin x) \end{vmatrix},$$ donde $c=\cos x$ , y \begin{align} $$\begin{vmatrix} p(\sin x)&q(\sin x)& r(\sin x)\\ p'(\sin x)\cos x&q'(\sin x)\cos x& r'(\sin x)\cos x\\ -p'(\sin x)\sin x& -q'(\sin x)\sin x& -r'(\sin x)\sin x \end{vmatrix}$$ =0 \fin {align} Para el determinante con los polinomios, tenemos $$\begin{vmatrix} a_1+a_2s+a_3s^2& b_1+b_2s+b_3s^2& c_1+c_2s+c_3s^2\\ a_2+2a_3s&b_2+2b_3s&c_2+2c_3s\\ 2a_3&2b_3&2b_3 \end{vmatrix}$$ Hacer la reducción de filas (primera fila menos $s$ veces la segunda, y la segunda fila menos $s$ por el tercero), este último determinante es igual a $$\begin{vmatrix} a_1& b_1& c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ 2a_3&2b_3&2b_3 \end{vmatrix}$$ Así que el determinante es igual a $$\begin{vmatrix} a_1& b_1& c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ 2a_3&2b_3&2b_3 \end{vmatrix} \,\cos^3x$$

Answer 3

El paso crítico para hacer esto "inteligentemente" es darse cuenta de que se puede escribir el determinante como el producto de dos matrices, como se indica a continuación. También sabemos que $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$ por lo que podemos escribir el determinante como $$\begin{vmatrix} 1&\sin{x}&\sin^2{x}\\ 0&\cos{x}&\sin{2x}\\ 0&-\sin{x}&2\cos{2x} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_1& b_1& c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&b_3 \end{vmatrix}$$ Ahora sólo tenemos que encontrar el determinante de la matriz de la izquierda, que es mucho más sencillo que lo que estábamos haciendo antes, y resulta ser simplemente $2\cos^2{x}$