Versión continua de una V.R. de Poisson

Question

Me pregunto si existe una versión continua de una variable aleatoria de Poisson, que tenga las dos características siguientes:

1) Tiene una FCD que coincide con la distribución discreta de Poisson en los números enteros, y 2) Tiene momentos que coinciden con los de la distribución de Poisson.

Gracias.

Answer 1

La función generadora de momentos de una variable aleatoria de Poisson $X$ con el parámetro $\lambda$ es $$ \mathbb{E}\left[e^{tX}\right]=\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\lambda}e^{nt}\lambda^n}{n!}=e^{\lambda(e^t-1)} $$ que converge para todo $t$ y, de hecho, es la restricción a $\mathbb{R}$ de una función completa. En particular, la serie de potencias de la función generadora de momentos centrada en cero tiene un radio de convergencia positivo. Por lo tanto, cualquier variable aleatoria con los mismos momentos que $X$ también debe tener una distribución de Poisson con el parámetro $\lambda$ .

Answer 2

De forma algo más general, dejemos $X$ sea cualquier variable aleatoria cuya función generadora de momentos $M(z) = \mathbb E[e^{tX}]$ es analítica en una vecindad de $0$ . Esto dice que la serie $\sum_{j=0}^\infty \mathbb E[X^j] t^j/j! $ tiene un radio de convergencia positivo, es decir $|\mathbb E[X^j]| \le C D^j j!$ para algunas constantes $C, D$ . Entonces tenemos la unicidad en el Problema del momento de la hamburguesa con estos momentos: no hay ninguna otra medida finita (con signo) en $\mathbb R$ con los mismos momentos que $X$ .

Answer 3

Esta es mi opinión sobre la respuesta a la pregunta utilizando la respuesta de Did. Lo bueno de su prueba es que sólo se basa en la igualdad de las FCD en los enteros y en la igualdad de los primeros momentos.

Dejemos que $X$ sea Poisson con CDF $F_X$ y $Y$ sea cualquier variable aleatoria con FCD $F_Y$ tal que $F_Y(n)=F_X(n)$ para todo número entero no negativo n. Entonces, $F_X⩾F_Y$ en todas partes. Esto implica que se puede acoplar X e Y de tal manera que $Pr(X⩽Y)=1$ .

Para ver esto, defina considerar una nueva variable aleatoria $Z$ que descansa en el mismo espacio de probabilidad que $X$ . Condicionado a $X=k$ , dejemos que $Z$ tienen la distribución de $Y|Y \in [k,k+1).$ Observe que $Pr(X⩽Z)=1.$ Además, $$F_Z(x)\\=\sum_{j=0}^{\lfloor{x} \rfloor-1}f_X(\lfloor{j} \rfloor)+f_X(\lfloor{x} \rfloor)*F_Z(x|X=\lfloor{x} \rfloor) \\=F_X(\lfloor{x} \rfloor)+f_X(\lfloor{x} \rfloor)*F_Y(x|Y \in[\lfloor{x} \rfloor,\lfloor{x} \rfloor+1)) \\=F_Y(\lfloor{x} \rfloor)+f_Y(\lfloor{x} \rfloor)*F_Y(x|Y \in[\lfloor{x} \rfloor,\lfloor{x} \rfloor+1)) \\=F_Y(\lfloor{x} \rfloor)+f_Y(\lfloor{x} \rfloor)* \frac{F_Y(x)-F_Y(\lfloor{x} \rfloor)}{f_Y(\lfloor{x} \rfloor)} \\=F_Y(x).$$

Además, $E(x)=E(y) (=E(z))$ implica que $Pr(Z=Y)=1.$ Por lo tanto, la respuesta a mi pregunta era "No".