Probar una función es infinitamente diferenciable

Question

No he hecho demasiadas pruebas, pero me gustaría intentar más y pensé en intentarlo con ésta, que es del libro de Penrose "El camino a la realidad".

El problema es probar que la función dada por $y = 0, x \leq 0$ y $y = e^{-1/x}, x > 0$ es $C^ \infty $ suave.

Cuando x es menor que 0, no hay problema ya que obviamente la función es infinitamente diferenciable. Del mismo modo, cuando x es mayor que cero la función es infinitamente diferenciable, por las propiedades de la función exponencial. Tal como yo lo veo, la dificultad surge en lo que sucede justo en 0. Para que la función sea diferenciable allí, la función necesita ser continua en 0, y para que eso suceda tanto el límite de la mano derecha como el de la mano izquierda necesitan ser iguales a 0. Así que para que la función sea infinitamente diferenciable, uno necesitaría mostrar que en el límite la función $e^{-1/x}$ y todos sus derivados, van a cero cuando x va a 0.

¿Estoy en el camino correcto? Gracias por el consejo.

Answer 1

Las derivadas están en el lado positivo no parecen imposibles de calcular. Creo que son

$$f^{(n)}(x) = e^{-1/x} \sum_{i=n+1}^{2n} {i \choose 2n-i}{i-1 \choose 2n-i}(2n-i)! (-x)^{-i}$$

como se puede demostrar por inducción. Tienen el límite $0$ como $x \to 0$ desde arriba (más fácil de ver dejando primero $y=1/x$ y luego tomar el límite como $y \to \infty$ ), por lo que la función es infinitamente diferenciable en todas partes.

Answer 2

Para demostrar que todos los $f(x) \in C^\infty$ es útil para encontrar $f^{(n)}(x)$ porque entonces es fácil demostrar la diferenciabilidad en $0$ .

Answer 3

Buen comienzo. Una pequeña pista: no hay que calcular el $n$ derivada de $e^{-1/x}$ explícitamente (eso sería un lío). Basta con mostrar la estructura que tiene, es decir, "un polinomio en $1/x$ , tiempos $e^{-1/x}$ ". Esto le permitirá deducir que tiende a cero como $x\to 0^+$ .