Probabilidad de que el producto de cuatro números naturales es divisible por 5

Question

Dado cualquiera de los cuatro elegidos al azar de números naturales (no se menciona si los números tomados son distintas o no) ¿cuál es la probabilidad de que su producto es divisible por 5?

Mis respuestas:

• El número elegido será de la forma $5k$ o $5k+1$ o $5k+2$ o $5k+3$ o $5k+4$ ($k$ es un número natural.). Ya que cada uno de la forma es la misma probabilidad de ocurrir (creo que será igual de probable y no saben la prueba) por lo tanto la probabilidad es $1-P(\text{none of the numbers is divisible by 5})=1-(4/5)^4$.

  Es mi respuesta, junto con la justificación correcta?

• Ahora, consideremos la pregunta de una manera diferente. Deje que el producto de los números de ser $x$. Desde $x$ es igualmente probable que sea de la forma $5k$ o $5k+1$ o $5k+2$ o $5k+3$ o $5k+4$ (Es?) por lo tanto la respuesta es $4/5$.

Obviamente, al menos uno de los dos métodos publicados respuesta anterior es incorrecto. Que es? Si ambos están equivocados por favor informe a la respuesta, junto con la justificación.

PS la pregunta de mi libro guía IIT JEE Matemáticas: 35 Años Chapterwise Resuelto Papeles de 2013 - 1979

Answer 1

Hay dos maneras de obtener la solución correcta. La forma más fácil es considerar el conjunto $\left\{\left[5k\right],\left[5k+1\right],\left[5k+2\right],\left[5k+3\right],\left[5k+4\right]\right\}$ de las clases de congruencia modulo $5$ (donde $\left[5k\right]$ simplemente indica la clase con el representante de la forma $5k$ para un entero $k$, y así sucesivamente). La probabilidad de que se elija cualquiera de estas clases es $\frac{1}{5}$. Por lo tanto, la probabilidad de que se elija la clase de $\left[5k\right]$$\frac{1}{5}$. La probabilidad de que usted no elige a esta clase es $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$. La probabilidad de que se elija $4$ clases que son cada uno de ellos no $\left[5k\right]$$\left(\frac{4}{5}\right)^{4}=\frac{256}{625}$. Por lo tanto, la probabilidad de que tenga un producto divisible por $5$ es equivalente a decir que, al menos, una clase es de $\left[5k\right]$, lo que ha probabilidad de $1-\frac{256}{625}=\frac{369}{625}$.

El segundo método, que es más popular cuando esas clases no son posibles, es tomar las probabilidades sobre los enteros en el intervalo de $\left[1,n\right]$, y observar el comportamiento de estas probabilidades como $n\to\infty$. Aunque esto no es necesario aquí, es una buena técnica para saber.

Answer 2

Suponiendo que usted está seleccionando a cuatro números de un conjunto finito de n, que es divisible entre 4. Luego de partición que puso en cuatro sets.

A = {1,5,9,...,n-3}

B = {2,6,10,....,n-2}

C = {3,7,11,...,n-1}

D = {4,8,12,..., n}

Número Total de números en cada set $= \frac{n}{4}$

En cada conjunto, $\frac{n}{5}$ no sería divisible por 5.

El total de la probabilidad de que cuatro números seleccionados a partir de estas particiones cuyo producto no es divisible por 5 =los números seleccionados de cada uno, que no es divisible entre 5 $= (\frac{4}{5})^4$.

Por lo tanto la probabilidad de que cuatro números seleccionados a partir de estas particiones cuyo producto es divisible por 5 $= 1-\frac{256}{625} = \frac{369}{625}$