Deje $p$ ser una de las primeras y $G$ fiel no regular transitiva finito grupo que actúe en $\Omega$ $|\Omega| > p$ tal de que algún elemento de las correcciones de ningún punto, y que cada elemento no trivial de fijación algún punto corrige exactamente $p$ puntos. Asimismo, se asume que para $g \notin N_G(G_{\alpha})$ hemos $$ G_{\alpha}^g \cap G_{\alpha} = 1 $$ y $p$ divide el orden de $G_{\alpha}$. Deje $\overline \alpha := \mbox{fix}(G_{\alpha})$ ser el conjunto de puntos fijos por $G_{\alpha}$ y se supone que una Sylow $p$-subgrupo $S$ $G$ corrige $\overline \alpha$ y los actos semi-regularmente en $\Omega \setminus \overline \alpha$.
a)$N_G(S) \subseteq N_G(G_{\alpha})$$N_G(S)' \subseteq G_{\alpha}$,
b) $G$ tiene un subgrupo normal $F$ de índice de $p$ [Sugerencia: Grün del Teorema],
c) Mostrar que el $F$ $p$ órbitas y actúa como un Frobenious grupo en estas órbitas.
Algunos de los hechos que conozco:
i) $S$ ha pedido en menos $p^2$.
Como $S$ actos semi-regularmente en $\Omega \setminus \overline \alpha$ por cada órbita $\Delta \subseteq \Omega \setminus \overline \alpha$ $S$ tenemos $|\Delta| = |S : S_{\beta}| = |S|$$\beta \in \Delta$. Deje $k$ denotar el número de estas órbitas, y como $S$ correcciones(1) $\overline \alpha$ $$ |\Omega| = |\overline \alpha| + k\cdot |S| = p + k \cdot |S| $$ y, por tanto, $p$ divide $|\Omega|$. Como $G$ actos transitivos $|\Omega| = |G : G_{\alpha}|$. Por lo $p$ divide el índice de $G_{\alpha}$$G$, y la orden de $G_{\alpha}$, por lo $S$ ha pedido en menos $p^2$ como Sylow $p$-subgrupo.
ii) $G_{\alpha}$ índice de $p$ en su normalizador.
Deje $k = |N_G(G_{\alpha}) : G_{\alpha}|$. Entonces si $g \in N_G(G_{\alpha})$ tenemos $G_{\alpha} = G_{\alpha}^g = G_{\alpha^g}$, por lo que el $G_{\alpha}$ corrige todos los puntos de $\alpha^g$$g \in N_G(G_{\alpha})$, y la órbita de la normalizador tiene el tamaño de $|N_G(G_{\alpha}) : G_{\alpha}|$. Así al menos lo $k$ puntos son fijos por $G_{\alpha}$. Más como $\alpha^g = \alpha$ implica $G_{\alpha} = G_{\alpha}^g$ exactamente $k$ puntos son fijos por $G_{\alpha}$.
Por $h \in N_G(G_{\alpha}^g) \Leftrightarrow (G_{\alpha}^g)^h = G_{\alpha}^g \Leftrightarrow G_{\alpha}^{ghg^{-1}} = G_{\alpha} \Leftrightarrow ghg^{-1} \in N_G(G_{\alpha}) \Leftrightarrow h \in N_G(G_{\alpha})^g$ el normalizadores de conjugados de a $G_{\alpha}$ son isomorfos, por lo tanto $|N_G(G_{\alpha}^g) : G_{\alpha}^g| = k$ y vemos que cada conjugado de $G_{\alpha}$ correcciones también exactamente $k$ puntos.
Deje $g \in G$ y denotan por $l$ el número de conjugados de $G_{\alpha}$ que contengan $g$. Por lo anterior, el número de puntos fijos por $g$ es, precisamente,$kl$.
Pero como los conjugados se cruzan trivialmente, si $g \ne 1$ $g$ corrige algún punto, a continuación,$l = 1$, y por lo $g$ corrige exactamente $k$ puntos, es decir, el número de puntos fijos es igual a la del índice, y por supuesto el número de puntos es igual a $p$, por lo tanto $k = p$.
Así que esto es todo lo que tengo, espero que usted me puede ayudar a solucionar los puntos a), b) y c)!
(1) supongo que esto significa $\overline \alpha^S = \overline \alpha$, es decir, $\overline \alpha$ es una unión de órbitas en $S$, y no necesariamente la $S$ revisiones cada punto de $\overline \alpha$. Pero tenga en cuenta que cualquiera de las $S$ revisiones cada punto de $\overline \alpha$, o si un punto no es fijo, a continuación, $\overline \alpha$ debe ser una órbita de $S$ $|\overline \alpha| = p$ y el tamaño de cada órbita debe dividir $|S|$. Pero tal vez el caso de que $S \le G_{\alpha}$ podría ser excluidos de alguna manera..
