La derivación de la distribución de Boltzmann - dos preguntas

Question

Entiendo que la forma habitual de la que se derive de la distribución de Boltzmann implica considerar un pequeño sistema de energía $\epsilon$ incrustado en una mucho mayor baño de calor de la energía $E - \epsilon$ y el total de energía del sistema, es $E$.

Dado que el baño ha accesible microstates $\Omega_b(E - \epsilon)$ y el sistema se ha microstates $\Omega_s(\epsilon)$ y el total del sistema + baño tiene microstates $\Omega_t(E)$.

Que ahora el estado que la probabilidad de encontrar el sistema en energía $\epsilon$ es simplemente \begin{equation} P(\epsilon) = \frac{\Omega_s(\epsilon)\Omega_b(E - \epsilon)}{\Omega_t(E)} \end{equation}

$\textbf{Question 1}$: Este es generalmente reemplazado por \begin{equation} P(\epsilon) = \frac{\Omega_b(E - \epsilon)}{\Omega_t(E)} \end{equation}

¿Por qué debería ser así? ¿Por qué podemos ignorar el hecho de que el número de accesible microstates en el sistema que debe variar con $\epsilon$?

De pasar, el truco habitual es el uso de logaritmos, ya que el $\Omega$ términos son todos muy grandes. Por lo tanto, \begin{equation} \ln P(\epsilon) = \ln\Omega_b(E - \epsilon) -\ln \Omega_t(E) \end{equation}

Una expansión de Taylor de primer término, acerca de la $E$ nos da \begin{equation} \ln P(\epsilon) = c - \epsilon\frac{\partial\ln\Omega_b(E)}{\partial E} + O(\epsilon^2), \end{equation}

donde c es sólo una constante que depende de la bañera y se fija cuando nos normalizar $P(\epsilon)$. Ignorning los términos de orden superior, obtenemos $P(\epsilon) \propto e^{-\beta\epsilon}$ donde identificamos $\beta = \frac{\partial\ln\Omega(E)}{\partial E}$.

$\textbf{Question 2}$ : ¿Por qué podemos ignorar la orden superior de Taylor? Entiendo que $\epsilon$ es pequeño en comparación con el baño de calor de la energía $E$, pero ¿por qué estoy comparando $E$ para obtener la medida del error en la probabilidad?

Answer 1

Creo que la confusión aquí tiene que ver con lo que la distribución de Boltzmann se describe. No te da la probabilidad de encontrar a su pequeño sistema con una energía particular. En su lugar, nos dice que la probabilidad de encontrar en un determinado microestado.

Si usted desea saber la probabilidad de obtener una energía particular, se tiene que la suma de la probabilidad de Boltzmann sobre la degenerados microstates. Esta es la forma de conseguir la de Maxwell-Boltzmann de distribución.

Así, de una manera más correcta de escribir lo que tienen arriba es $$ P_s \propto \Omega_b\left(E - \epsilon\right)\,, $$ donde $s$ es algunos de microestado del sistema pequeño. Esto los lleva a su fórmula.

En cuanto a la segunda orden de $\epsilon$. Como usted dice, en equilibrio, definimos $\beta = \frac{\partial \ln\Omega\left(E\right)}{\partial E}$. Desde $\beta = \frac{1}{k_B T}$ (constante), la segunda derivada del logaritmo desaparece, llevándose $\epsilon^2$.

Answer 2

Pregunta 1 La cantidad $$P(\epsilon)={\Omega_s(\varepsilon)\Omega_b(E-\varepsilon)\over\Omega_t(\varepsilon)}$$ debe ser interpretado como la probabilidad de que el macroscópica del estado para que la energía total $E$ se divide en $\varepsilon$ para el sistema y $E-\varepsilon$ para el baño. La realización de una expansión de Taylor de el logaritmo de la pasada legislatura, uno se $$P(\epsilon)={\rm Cst}\times \Omega_s(\varepsilon)e^{-\beta \epsilon}$$ donde $\Omega_s(\varepsilon)$ es el número de microscópicas de los estados del sistema de energía $\epsilon$. Esta probabilidad es también la suma de las probabilidades individuales de cada microscópico de los estados cuyas energías $\epsilon_i$ son igual a $\epsilon$: $$P(\epsilon)=\sum_{i/\epsilon_i=\epsilon} p_i$$ Desde estas microscópicas de los estados son equiprobables, $p_i=p(\epsilon)$ todos los $i=1,\ldots,\Omega_s(\varepsilon)$$P(\epsilon)=\Omega_s(\epsilon)p(\epsilon)$. La probabilidad de encontrar el sistema en el $i$-ésimo estado microscópico es $$p_i=p(\epsilon_i)={P(\epsilon)\\Omega_s(\epsilon)} ={\rm Cst}\times e^{-\beta \epsilon_i}$$ Yo podría haber usado esta en el principio, antes de realizar la expansión de Taylor $$p_i={\Omega_b(E-\varepsilon_i)\over\Omega_t(\varepsilon_i)}$$