Bicondicional

Question

Realmente me encantaría su ayuda con la que muestra que por cada prime $p>7$, existen enteros $x,y$ tal que $p=x^2+7y^2$, si y sólo si, $p \equiv 1,2,4 \pmod7$.

$x^2+7y^2$ es la norma de la distancia Euclídea de dominio $a+b\sqrt{-7}$ $p$ es compuesto en el dominio de la fib se trata de una norma, i.e $x^2+7y^2=1$ (no estoy seguro de que necesito esto ahora).

así las plazas$\pmod7$ (Los números que dejó el mismo residuo después de la cuadratura) se $0,1$, por lo que supongo que $x^2+y^2 \equiv 0,1,2 \pmod7$, Es esto correcto? ¿Cómo debo ir?

Muchas gracias!

Answer 1

Aquí es un estándar de la teoría algebraica de números enfoque; no sé si está en el nivel adecuado para el OP.

• $\mathbb Z[(1 +\sqrt{-7})/2]$ es un PID (bien conocido, y fácilmente verificados por ejemplo, por la de Minkowski de la envolvente).

• Un primer $p \neq 7$ se divide en este anillo iff $p$ es un cuadrado mod $7$. (Reciprocidad cuadrática.)

• Esto da el resultado, salvo que uno se $p = x^2 + 7 y^2$ donde $x$ $y$ podría ser la mitad-enteros en lugar de los números enteros. Pero multiplicando ambos lados por $4$ y en busca de mod $8$ reglas de esta última posibilidad (como $p \neq 2$).

Answer 2

Puede hacer referencia a esta parte de Granville las notas del curso. En particular, de la Proposición 4.1: Un entero $n$ está adecuadamente representado por un binario forma cuadrática de discriminante $-7$ fib $-7$ es un cuadrado modulo $4n$. Desde $-7\equiv 1\pmod 4$ $\left(\frac{-7}{p}\right)=\left(\frac{p}{7}\right)$ para todos los números primos $p$, $-7$ es una plaza de mod $4p$ si $p\equiv 1,2,4 \pmod 7$.

Sólo hay una reducción de forma binaria con discriminante $-7$ (un ejercicio en las notas), de modo que todos los números primos puede ser escrito como $x^2+xy+2y^2$. Si $x$ es par o $x$ $y$ son ambos impares, entonces esto representa un número par, por lo que debemos tener $y=2z$ para algunos entero $z$.

Así que hay $x,z\in\mathbb{Z}$ con $ p=x^2+2xz+8z^2=(x+z)^2+7z^2 $.