La evaluación de $\int_a^b (x-\alpha)(x-\beta) \ dx$ sin aumentar el integrando

Question

Hay una propiedad de las integrales definidas de la siguiente forma:

$$\int_{a}^{b} (x-\alpha)(x-\beta) \ dx$$

que permitan evaluar de ella sin necesidad de ampliar el integrando?

Gracias!

Answer 1

Mientras que la expansión parece la solución más sencilla, también podemos integrar por partes

$\begin{align} I&=\int_{a}^{b} (x-\alpha)(x-\beta) \, dx \\&=\frac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)\bigg|_{x=a}^{x=b}-\frac{1}{2}\int_{a}^{b} (x-\alpha)^2 \, dx \\&=\frac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)-\frac{1}{6}(x-\alpha)^3\bigg|_{x=a}^{x=b} \end{align}$

Answer 2

$$\int_a^b (x-\alpha)(x - \beta) \ dx = \int_a^b \left(x -\frac{\alpha + \beta}{2}\right)^2 - \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)^2 \ dx \\= \left[\frac{1}{3}\left(x -\frac{\alpha + \beta}{2}\right)^3 - \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)^2 x\right]_a^b$$

Answer 3

Puesto que usted tiene un segundo fin de grado del polinomio, la regla de Simpson se convierte en exacta. Así

$$ \begin{align} \int_a^b (x-\alpha)(x-\beta)\,dx &= \frac{1}{6(b-a)}\Bigl[(a-\alpha)(a-\beta)\\ &\quad +4\bigl((a+b)/2-\alpha\bigr)\bigl((a+b)/2-\beta\bigr)+(b-\alpha)(b-\beta)\Bigr]. \end{align} $$

Answer 4

$$\int (x-\alpha)(x-\beta)dx = \int (x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta )dx = \frac{x^3}{3}-(\alpha+\beta)\frac{x^2}{2}+\alpha\beta x+k$$ donde $k$ es constante.