¿Hay algún ejemplo de una Mentira Álgebra, que ha trivial radical, pero no contiene abelian ideal?

Question

¿Hay algún ejemplo de una Mentira Álgebra, que ha trivial radical, pero no contiene abelian ideal?

Aquí, el radical de una Mentira álgebra significa su máxima solución ideal.

Esta pregunta se produce en la prueba del teorema que establece que "Una Mentira álgebra es semsimple si y sólo si su forma de matar es no degenerada." En la prueba, está escrito que "para demostrar que $L$ es semisimple, será suficiente probar que cada abelian ideal de $L$ se encuentra en el radical de la forma de matar." Así que me estoy preguntando ¿qué pasa si $L$ no contiene abelian ideal pasar de ser semisimple.

Es posible?

Muchas gracias.

Answer 1

Si los radicales $\mathfrak r$ de una Mentira álgebra $\mathfrak g$, $\mathfrak r$ es una solución Mentira álgebra. De ello se deduce que, o bien $[\mathfrak r, \mathfrak r]$ es cero, por lo que el $\mathfrak r$ es abelian, o $[\mathfrak r, \mathfrak r]$ es no trivial de la nilpotent ideal en $\mathfrak r$. En el último caso, entonces el centro de la $[\mathfrak r,\mathfrak r]$, lo cual no es trivial debido a nilpotency, es un abelian ideal de $\mathfrak g$.

Answer 2

Deje $\mathfrak{g}$ ser una Mentira álgebra, $\mathfrak{r}$ sus radical, y $\mathfrak{a}$ el centro de la $\mathfrak{r}$ (el conjunto de $x \in \mathfrak{r}$ s.t. para todos $y \in \mathfrak{r}$, $[x,y]=0$). Por la identidad de Jacobi, y desde $\mathfrak{r}$ es un ideal de $\mathfrak{g}$, $\mathfrak{a}$ es un ideal de a $\mathfrak{g}$.

Además, una solución no trivial de la Mentira de álgebra tiene trivial centro. EDIT: Esta última frase es de hecho falso (gracias Matt E). Así es más fácil formular de esta manera: por Jacobi, siempre que $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ son los ideales de una Mentira álgebra, $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]$ es también un ideal, de manera que el último no trivial $\mathcal{D}^n \mathfrak{r}$ es un abelian ideal de $\mathfrak{g}$.