Cómo pensar acerca de la concordancia?

Question

Dos continuo mapas de $f, g: A \to B$ son homotópica si existe un mapa continuo $H:A \times [0,1] \to B$ tal que $H(x,0)$ = $f(x)$ y $H(x,1) = g(x)$. Entiendo que uno debe pensar de $H$ como la deformación continua del mapa $f$ a la mapa $g$, y hay gifs en la página de la wikipedia y todo está bien con el mundo.

Dos continuo mapas de $f, g: A\to B$ son llamados concordantes , si existe un mapa continuo una incrustación $J: A\times[0,1] \to B\times[0,1]$ tal que $J(x,0)$ = $f(x)\times\{0\}$ y $J(x,1) = g(x)\times\{1\}$. Hay una forma intuitiva de entender la concordancia? O hay algunos simples, iluminando ejemplos de mapas que son concordantes, pero no homotópica?

(edit: se corrigió la definición de concordancia.)

Answer 1

Esto es realmente sólo un comentario de que es demasiado largo. También, voy a abordar esto desde el punto de vista de nudo de la teoría.

Cada dos nudos son homotópica, ya que son sólo diferentes incrustaciones de $S^1$$S^3$. Así como un nudo teórico, utilizamos ambiente isotopía como nuestro equivalencia, que es un homotopy donde cada intermedio mapa es una homeomorphism. (Esto es equivalente a las otras definiciones se puede ver.) Pero para cualquiera de estas dos maneras de hacer mapas, podemos ver que esta sucediendo en S^3 a lo largo del tiempo.

Ahora de la concordancia. Decimos a los nudos son concordantes en exactamente la misma manera como se define arriba. Pero cuando pensamos acerca de esto en una forma geométrica, que no consideramos esto como sucede en $S^3$ más de tiempo ya. Lo que hacemos es dejar que los dos nudos de la mentira en 4 dimensiones del espacio $(x,y,z,w)$ donde$w\in [0,1]$, $w=0$ y el otro a $w=1$. Y en este espacio, si podemos encontrar una superficie que conecta los dos nudos que sólo se cruza con las 3 dimensiones del espacio a las $w=0$ y 1, donde el los nudos hacer. Para los nudos, esta superficie es necesariamente un cilindro.

Cuando vi por primera vez esta definición, pensé ingenuamente, esto significaría que cada nudo fue concordante a cada nudo, pero esto no es cierto. Mi errónea que pensé fue que en 4 dimensiones, todos los nudos son triviales, que es lo que la concordancia ve. Mientras mi pensamiento es verdadero para un nudo en 4 dimensiones, la diferencia es que la superficie no puede mentir en el 3 dim espacio nudo. Así que hay nudos que no son concordantes a la unknot y los nudos que son. Pero todos los nudos son homtopic a la unknot, como he dicho anteriormente.

Creo que PVAL-inactivo dijo que la mejor manera de responder a su pregunta en los comentarios, pero espero que me dio algo de intuición.