¿Existe un nombre para esta "media"?

Question

Todos conocemos estos medios:

$$GM = \sqrt[3]{xyz}$$ $$AM = \frac{x + y + z}{3}$$ $$QM = \sqrt{\frac{x^2 + y^2 + z^2}{3}}$$

Por supuesto:

$$GM \le AM \le QM$$

¿Qué hay de este?

$$XM = \sqrt{\frac{xy + yz + zx}{3}}$$

¿Tiene su nombre? ¿Existen desigualdades que lo relacionen con otros medios?

Hice una búsqueda básica, pero me sorprendió no encontrar nada.

Answer 1

La cantidad $XM$ se encuentra entre la media aritmética y la geométrica, es decir $$AM\geq XM\geq GM.$$ Observe que $$3AM^2=2XM^2+QM^2,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ y así desde $AM\leq QM$ se deduce que $$3AM^2=2XM^2+QM^2\geq 2XM^2 +AM^2\Rightarrow AM\geq XM.$$ La desigualdad AM-GM implica que $XM\geq GM$ . Desde $(1)$ podemos escribir $$XM=\sqrt{\frac{3AM^2-QM^2}{2}},$$ pero una forma más agradable de expresar $XM$ se da en Comentario de Thomas Andrews : $$XM=GM\sqrt{\frac{GM}{HM}}.$$

Véase también: Las desigualdades de Newton. En general, cantidades como $XM$ suelen denominarse Medios Simétricos Elementales.