No entender una proposición y su prueba

Question

La proposición 5.1 de Álgebra Conmutativa por Atiyah y Macdonald:

$x∈B$ integral $A$, $A[x]$ es un finitely generadas $A$-módulo.

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Los elementos en $A[x]$ son el conjunto de toda la suma.

Si $A[x]$ $A$- módulo,a continuación, es el ideal de la $A$.

Pero la suma no puede, en $A$, ya que el $x$ puede ser el elemento de $B-A$.

A continuación, voy a leer la prueba en busca de la respuesta.

Yo todavía no figura pero más confundido.

El nuevo problema es por qué todos los poderes positivos de $x$ mentira en la $A$-módulo generado por $1,x,...$..

Si ,

entonces no puede existir $r < n$ tal que .

Por lo tanto, no existe una positiva poderes de $x$ mentira en la $A$-módulo no generados por $1,x,...$..

Me debe malinterpretar algo, he comprobado el concepto, pero todavía no puedo averiguar dónde está el error.

Esa es toda la cuestión y lo he de intentar.Podría usted decirme dónde está el error?

Gracias de antemano

Answer 1

Usted dice:"Si $A[x]$ $A$- módulo,a continuación, es el ideal de la $A$." esto no es cierto. los ideales de $A$ $A$- módulos, pero el recíproco no es cierto siempre.
para la 2ª pregunta:
poderes positivos de $x$ $\ge$ $n$ o se $1,2,...,n-1$. en cada caso se encuentran en el $A$-módulo generado por $1, x, .., x^{n-1}$ porque $x^{n+r}=...$