Integral de $0$ a $t$ $\int \frac{e^x}{(t-x)^{9/10}} dx$

Question

¿Cuál es la integral de $$\int_{0}^{t} \frac{e^x}{(t-x)^{\frac{9}{10}}}\; dx?$$

Sea $u = t-x \Rightarrow dx = -du$

$$e^t \int_{0}^{t} \frac{e^{-u}}{u^{\frac{9}{10}}}\; du$$

¿Cómo proceder?

Answer 1

De lo que hiciste, tenemos que

$$I = e^t \int_{0}^{t} \frac{e^{-u}}{u^{\frac{9}{10}}}\mathrm du = e^t\int_0^tu^{-9/10}e^{-u}\mathrm du = e^t\int_0^tu^{1/10-1}e^{-u}\mathrm du$$

Si usamos la definición de una Función Gamma Incompleta Inferior

$$\gamma(s,t):= \int_0^tu^{s - 1}e^{-u}\mathrm du$$

Entonces tienes que tu integral $I$ es

$$I = e^t\gamma(1/10,t)$$

Podemos usar la relación

$$\gamma(s,x) = \Gamma(s) - \Gamma(s,x)$$

Entonces tendremos que

$$I = I(t) = e^{t}\left(\Gamma(1/10)-\Gamma(1/10,t)\right)$$

donde usamos la definición

$$\Gamma(s,x) := \int_x^{+\infty}u^{s-1}e^{-u}\mathrm du$$

$$\Gamma(1/10) = 9.513507698668731836\dots $$

Hay otro enfoque. Decimos, como antes, que $I(t) = e^t\gamma(1/10,t)$ y podemos usar que, para $a,x \in \mathbb{R}$ y $a>0,x>0$ tenemos

$$\gamma(a,x) = x^a\sum_0^{+\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!(a+n)}$$

Lo cual te da una representación en series para tu función de $t$. La prueba de que esta serie puede ser utilizada está en aquí, lo que el enlace dice es que esta serie puede ser creada mediante la integración término a término de

$$t^{a-1}e^{-t} = \sum_{0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}t^{a+n-1}$$

Y la integración término a término está justificada por la convergencia uniforme de la serie de potencias para $e^{-t}$ en intervalos acotados.