Calcular $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos\theta)^2}\,d\theta$

Question

I"m atascado en un ejercicio de análisis complejo relativa a la integración racional de funciones trigonométricas. Aquí va:

Queremos evaluar $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos\theta)^2}\,d\theta$.

Aquí está mi trabajo:

Deje $z=e^{i\theta}$, de modo que $d\theta=dz/iz$$\cos \theta = \frac12 (z+z^{-1})$. Tenemos

$$\begin{align} I&=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos\theta)^2}\,d\theta \quad (1)\\\\ &=\oint_C \frac{1}{(2+\frac{z+z^{-1}}{2})^2}\frac{dz}{iz} \quad (2)\\\\ &=\frac1i\oint_C \frac{4}{(4+z+z^{-1})^2}\frac{dz}{z} \quad (3) \\\\ &=\frac4i\oint_C \frac{1}{(z^2+4z+1)^2}\,dz \quad (4) \\\\ &=\frac4i\oint_C \frac{1}{(z-(-2+\sqrt3)^2(z-(-2-\sqrt3)^2}\,dz \quad (5)\\\\ &=\frac4i\oint_Cf(z)\,dz \quad (6) \end{align}$$

donde $C$ es el círculo unidad en el complejo de $z$-plano.

La función de $f(z)$ tiene singularidades en$(-2\pm\sqrt3)$, pero sólo $(-2+\sqrt3)\in int(C)$. Por lo tanto,

$$\oint_Cf(z)\,dz=2\pi i (Res(f, (-2+\sqrt3))) \quad (*)$$

Desde $(-2+\sqrt3)$ es un polo de orden $2$, después de un rápido cálculo puedo conseguir

$$Res(f, (-2+\sqrt3)=-\frac{\sqrt3}{3}$$

y así, por $(*)$ I get

$$\oint_Cf(z)\,dz=2\pi i (-\frac{\sqrt3}{3})=-\frac{2\pi\sqrt3i}{3}.$$

Por lo tanto, por $(6)$, me parece

$$\frac4i\oint_Cf(z)\,dz=\frac4i \left(\frac{-2\pi\sqrt3i}{3}\right)=-\frac{8\pi\sqrt3}{3}.$$

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Mi solución sin embargo no es correcto. La integral dada se evalúa a $\frac{4\pi}{3\sqrt3}$ (verificado con Wolfram). Sospecho que debe haber un error en uno de mis pasos de $(1)$ $(6)$pero no puedo encontrarlo.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(4)$ es $$\frac{4}{i} \oint_{C}\frac{\color{red}{z}}{\left(z^{2}+4z+1\right)^{2}}dz $$ and $$\textrm{Res}_{z=-2+\sqrt{3}}\left(\frac{z}{\left(z^{2}+4z+1\right)^{2}}\right)=\frac{1}{6\sqrt{3}}.$$

Answer 2

Editar $$I(a)=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{a+\cos x}dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{a-\cos x}dx=2\int_{0}^{\pi}\frac{1}{a-\cos x}dx$$ Sabemos $\cos x=\large \frac{1-\tan^2\frac x 2}{{1-\tan^2\frac x 2}}$,lo que $$I(a)=2\int_{0}^{\pi}\frac{{1+\tan^2\frac x 2}}{(a-1)+(a+1)\tan^2\frac{x}{2}}dx=\frac{2}{(a+1)}\int_{0}^{\pi}\frac{1+\tan^2\frac x 2}{\frac{a-1}{a+1}+\tan^2\frac{x}{2}}dx$$ set $u=\tan\frac{x}{2}$, tenemos $$I(a)=\frac{4}{a+1}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\frac{a-1}{a+1}+u^2}du=\frac{4}{a+1}\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}\tan^{-1}\left(\frac{a+1}{a-1}u\right)\large|_{0}^{\infty}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$$

$$I(a)=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{a+\cos x}dx=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$$

$$I'(a)=-\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(a+\cos x)^2}dx=-\frac{2\pi a}{(a^2-1)^\frac32}$$ En otras palabras

$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(a+\cos x)^2}dx=\frac{2\pi un}{(a^2-1)^\frac32}$$

ahora establezca $a=2$