La formación de la ecuación de un plano mediante la resolución de la ecuación lineal conjunto

Question

Dado los tres puntos en el plano: $ A(x_1, y_1, z_1) $, $ B(x_2, y_2, z_2) $ y $ C(x_3, y_3, z_3) $.

Estoy tratando de obtener la ecuación del plano en este formato:
$ ax + by + cz + d = 0 $

He sustituido dado tres puntos en el plano de la ecuación anterior para formar la matriz siguiente ecuación:

\begin{equation} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ? \end{bmatrix} \end{equation}

Mi objetivo es encontrar los coeficientes $ a $, $ b $, $ c $ y $ d $ por la solución de esta ecuación de matriz. Sin embargo, no puedo encontrar una cuarta ecuación para completar la ecuación conjunto. Puede usted por favor escribir a mí, una cuarta ecuación para completar el conjunto?

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Nota: Mi objetivo no es sólo encontrar el plano de ecuación. Mi objetivo es encontrar el plano de ecuación por este método, por medio de la resolución de un conjunto de ecuaciones lineales. Sé que la otra forma más práctica de encontrar el plano de ecuación, pero estoy tratando de encontrar de esta manera a propósito. No hay ninguna razón, simplemente me gusta probar diferentes métodos y jugando con los números ocasionalmente fuera de interés. Así que, por favor, considere esto no mientras escribe sus respuestas y no me sugieren otros métodos.

Answer 1

El problema es que no hay una solución única. Consideremos, por ejemplo, el avión $x+y+z=1$: puede ser descrito por la ecuación de $2x+2y+2z=2$. En resumen, si $d\ne 0$ siempre puede $ax+by+xz+d=0$ por $d$ para obtener una ecuación equivalente con término constante $1$:

$$\frac{a}dx+\frac{b}dy+\frac{c}dz+1=0\;.$$

Por lo tanto, se puede asumir desde el principio que $d=0$ o $d=1$, dependiendo de si el plano pasa por el origen o no. Que reduce el problema a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Answer 2

Si usted realmente quiere resolver un sistema de cuatro ecuaciones (que no es realmente necesario, como Brian Scott señaló), luego el cuarto que falta podría ser casi cualquier cosa. Por ejemplo, $a+b+c = 1$ funcionaría. El único propósito de esta cuarta ecuación es quitar el escalado de la indeterminación en $a,b,c,d$ que se explica en Brian respuesta.

Answer 3

Para obtener una ecuación del plano en el que está interesado en ...

(1) Poner a $x$, $y$, $z$, y 1 en lugar de los cuatro ? símbolos

(2) el determinante de la resultante de $4 \times 4$ matriz y el conjunto es igual a 0.

Que eran taaaaan cerca :-)

Answer 4

En la ecuación de $ax + by + cz + d = 0$, el vector $(a,b,c)^T$ es la normal al plano. El parámetro d define la distancia desde el origen y puede ser determinado dado un punto en el plano.

El plano de ecuación puede ser escrita de la siguiente manera: $$ \vec{n}^T(\vec{x} - \vec{p_0}) = 0$$

The point $\vec{p_0}$ is any point on the plane (you can choose any one of the three points you have). Essentially the equation says that the dot product of the normal with any vector on the plane is zero (if $\vec{x}$ is a point on the plane, then $\vec{x} - \vec{p_0}$ is a vector parallel to the plane).

So the problem is now to find the normal to the plane given the three points you have. Then determine $d$ using one of the points. The solution is simple: Use the three points to derive two vectors on the plane ($\vec{v_1} = \vec{B} - \vec{A}$ and $\vec{v_2} = \vec{C} - \vec{A}$). Ahora calcular el producto cruz de estos dos vectores. El producto vectorial es perpendicular a los dos vectores y por lo tanto la normal al plano.