acerca de los más pequeños $k$ que $V_k$ es un modelo de ZFC

Question

Deje $k$ a ser el ordinal menor que $V_k$ es un modelo de ZFC. Sé que $k$ no necesita ser inaccesible cardenal,y $k$ ha confinality $\omega$.

Entonces, ¿cómo de grande es $k$? Cómo escribir $k$ en términos de $\aleph$ o $\beth$?desde su confinality es$\omega$, ¿cómo encontrar un $\omega$-secuencia para llegar a $k$?

Answer 1

Estos cardenales que ahora son llamados mundanas. Como Asaf señalado, cualquiera de dichas $\kappa$ es un bet de punto fijo. Tenga en cuenta que $V_\kappa$ no puede ver los $\omega$-secuencia cofinal en $\kappa$, ya que el $\mathsf{ZFC}$ demuestra que no $\omega$-secuencia de los números ordinales es cofinal en la clase $\mathsf{ORD}$ de todos los ordinales. Esto significa que cualquier testimonio de la secuencia no puede ser "fácilmente" se describe, o de lo $V_\kappa$ sería capaz de identificarlo.

El siguiente argumento puede ayudar a entender por qué los cofinality es $\omega$: Vamos a $\mathsf{ZFC}_n$ ser la subteoría de $\mathsf{ZFC}$ resultante de restringir el axioma esquema de la sustitución de la $\Sigma_n$ fórmulas. Deje $C_n$ ser la clase de cardenales $\kappa$ tal que $V_\kappa$ modelos de $\mathsf{ZFC}_n$. Por el teorema de reflexión, cada una de las $C_n$ es cofinal en $\mathsf{ORD}$. De hecho, desde el $\Sigma_n$ satisfacción es definible, cada una de las $C_n$ contiene un club: Considerar los $\kappa$ tal que $V_\kappa$ $\Sigma_n$- primaria de la subestructura del universo $V$.

Supongamos $\kappa$ es mundano. [Nota de que, dado que la satisfacción no es definible -- este es del teorema de Tarski, -- aunque sabemos que, desde fuera, que cada una de las $C_n^{V_\kappa}$ contiene un club en $\kappa$, $V_\kappa$ no tienen acceso a la secuencia de $(C_n^{V_\kappa}\mid n<\omega)$.] Si $\kappa$ ha cofinality mayor que $\omega$, $\bigcap_n C_n^{V_\kappa}$ nuevo contiene un club en $\kappa$. Si $\rho$ es cualquier elemento de esta intersección, $\rho$ es de nuevo mundanas, ya que satisface $\Sigma_n$ reemplazo de todos los $n$. De hecho, si tomamos $\rho$ en la intersección de los clubes que figuran en el $C_n^{V_\kappa}$, luego tenemos el más fuerte conclusión de que $V_\rho\prec V_\kappa$.

De ello se sigue que no $\kappa$ puede ser el primer mundanas, cardenal, y por lo tanto el más pequeño tiene cofinality $\omega$ (y esto es atestiguado por el hecho de que hay un $\omega$-secuencia de los clubes, con intersección vacía). Modificaciones de la tesis muestran que un largo segmento inicial de la secuencia de mundanas, los cardenales se compone únicamente de los cardenales de cofinality $\omega$. La primera mundanas, el cardenal de innumerables cofinality ha cofinality $\omega_1$, la próxima vez, ha cofinality $\omega$, y de nuevo todos los mundanas, cardenales pasado presente se han cofinality $\omega$ durante un largo tramo, vemos de nuevo uno de cofinality $\omega_1$, etc.

Answer 2

De hecho, al menos tal $\kappa$, si es que existe, tiene una contables cofinality. Sin embargo $\kappa$ $\beth$- punto fijo. Esto significa que $\kappa=\beth_\kappa$. Así, en particular, es un poco difícil escribir un cofinal secuencia en forma explícita.

Y tenga en cuenta que todos los $\beth$-punto fijo es una $\aleph$-punto fijo: $\beth_\alpha\geq\aleph_\alpha\geq\alpha$ es comprobable en $\sf ZFC$. Si $\alpha=\beth_\alpha$ entonces tenemos igualdad de todos a través de la junta.

Todo lo que podemos hacer es demostrar que este cardenal tiene una contables cofinality, y por lo tanto, la secuencia existe.