¿Alguien sabe cómo resolver esta ecuación matricial? $$P = P P^T R + X,$$
donde $P, R,$ y $X$ son vectores con $n$ elementos, y $P$ ¿es el vector desconocido?
Podríamos reformular toda la ecuación como $P(1-\langle P,R\rangle) = X$ donde $\langle a,b\rangle := a^t b $ es el producto escalar estándar. Así que $P$ es obviamente un múltiplo de $X$ (nótese que la expresión entre paréntesis es sólo un escalar), $P=tX$ . Pongamos eso en la ecuación de nuevo:
$$tX (1- \langle tX,R\rangle) = X$$
$$\iff t(1-t\langle X,R\rangle) = 1$$
$$\iff -\langle X,R\rangle t^2+t-1 = 0 $$ que es una ecuación cuadrática en una variable que se puede resolver para $t$ . Luego hay que enchufar $t$ de nuevo en $P = tX$ .
Espero que esto ayude y que todo sea correcto=)
Gracias @flawr, esto me ha ayudado mucho y creo que es correcto. No estoy seguro de la segunda ecuación (multiplicar con la inversa), ya que X es un vector. Sería mejor escribir: $$X(t-t^2\langle X,R\rangle - 1) = 0$$ y como X no puede ser cero (en el problema concreto) la última ecuación es válida
Buen punto, sólo hay que tener en cuenta que "multiplicar con la inversa" no es posible, ya que las matrices no cuadráticas (aquí el vector $X$ ) generalmente no tienen inversos multiplicativos. Lo que hice fue simplemente comparar los coeficientes. Pero tienes razón en que hay que tener en cuenta $X = 0$ por lo que la suya es una buena forma de presentarlo.
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