Prueba $3^{2n+1} + 2^{n+2} = 7m$

Question

Estoy tratando de demostrar que $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ es un múltiplo de 7 utilizando la inducción.

Así que empecé a probarlo por $n=1$ : $3^{2(1)+1}+2^{1+2}=3^3+2^3=27+8=35=7(5)$ .

A continuación, intente demostrar que la afirmación es verdadera $n=k$ implica que sea cierto para $n=k+1$ . Así:

$3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2} = 3^{2k+3}+2^{k+3} = (3)(3)(3^{2k+1})+(2)(2^{k+2}) = 9(3^{2k+1})+2(2^{k+2})$

Siento que casi estoy allí, si pudiera tener el factor 9 y 2 de alguna manera podría decir que $3^{2k+1}+2^{k+2}=7m$ para algún número entero $m$ pero no encuentro la manera de hacerlo. ¿Qué me falta? ¿O he cometido un error garrafal en alguna parte del camino?

Gracias de antemano.

Answer 1

¡Buen comienzo! Una pista: Considere lo que $3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2} - 2(3^{2k+1} + 2^{k+2})$ es, y ver a dónde te lleva eso.

Answer 2

$$9(3^{2k+1}) + 2(2^{k+2}) = 7(3^{2k+1}) + 2(3^{2k+1}) + 2(2^{k+2}) = 7(3^{2k+1}) + 2(3^{2k+1} + 2^{k+2}) = 7(3^{2k+1} + 2m)$$

Answer 3

Sugerencia Alt. (sin inducción): $3\;\cdot 9^n+ 4 \cdot 2^n=3\cdot (7 + 2)^n+4 \cdot 2^n=3 \cdot 7 \cdot (\ldots)+ (3 + 4) \cdot 2^n\,$ .

Answer 4

$$9(3^{2k+1})=7(3^{2k+1})+2(3^{2k+1})$$ De ahí que obtengamos: $$7(3^2k+1)+2(3^2k+1)+2(2^k+2)$$

Que podemos ver como un múltiplo de $7$ más el resultado de $n=k$ que asumimos como un múltiplo de $7$ multiplicado por $2$ .

Answer 5

el truco de la inducción es poner el $k+1$ expresión en términos de la $k$ expresión.

Si $ 3^{2k+1} + 2^{k+2}=7m$ entonces

$3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2} = 9(3^{2k+1})+2(2^{k+2}) = 2[ 3^{2k+1} + 2^{k+2}] + 7*3^{2k+1}$

$= 2(7m) + 7*3^{2k+1} = 7(2m + 3^{2k+1})$ .