La intuición de uniforme de continuidad de una función en $\mathbb{R}$

Question

Entiendo que la definición formal de uniforme de continuidad de una función, y cómo es diferente de la norma de la continuidad.

Mi pregunta es: ¿hay una manera intuitiva para clasificar a una función en $\mathbb{R}$ como uniformemente continua, de igual manera que lo es para regular la continuidad? Quiero decir, que para una "buena" la función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, por lo general es fácil saber si es continua en un intervalo mirando o pensando en la gráfica de la función en el intervalo, o en todos los de $\mathbb{R}$. Puedo hacer el mismo uniforme de la continuidad? Puedo decir que una función es uniformemente continua sólo por lo que parece? Idealmente, esta intuición encajaría con el de Heine-Cantor teorema de compacto se pone en $\mathbb{R}$.

Answer 1

Me gusta pensar en el hecho siguiente: $C^1$ función en $\mathbb{R}$ con delimitada derivada es uniformemente continua. Así, para que una función no sea uniformemente continua, no tienen que ser lugares donde su gráfica es "arbitrariamente empinada".

Debido al teorema de que cualquier función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua, esto sólo puede suceder si usted hace la función más abrupto y escarpado como te vas a $\infty$, unboundedly (como $x^2$) o boundedly (como $\sin(x^2)$).

Edit: Como se ha señalado, el recíproco es falso: una función no acotada derivado puede todavía ser uniformemente continua. $\sin(x^4)/(1+x^2)$ es un ejemplo, creo. Así que esto no puede ser de una gran intuición, después de todo.

Answer 2

Una posible intuición para uniformes de la continuidad es que una función no debería oscilar arbitrariamente salvajemente. Si la función es diferenciable por ejemplo, en un intervalo abierto, entonces la derivada debe ser delimitada en valor absoluto. Eso es algo que se puede ver mirando el gráfico. Por ejemplo, si se considera la función $sin(1/x)$ en el intervalo abierto $(0,1)$, con sólo mirarlo, te das cuenta de que no es uniformemente continua, ya que la pendiente se hace arbitrariamente pronunciada como la que el enfoque de $0$ desde la derecha.

La forma en que esta intuición se relaciona con la de Heine-Cantor teorema es que en conjuntos compactos, delimitadas las funciones de la consecución de sus extremos. Si su función es diferenciable, entonces esto es particularmente cierto para su derivado, por lo que la pendiente de la función no puede ser arbitrariamente empinada sobre un intervalo compacto.

Answer 3

Esto es un poco complicado, porque su imagen intuitiva de "continuo" probablemente se asemeja más a "uniformemente continua." Es decir, si usted puede realmente dibujar una gráfica sin levantar el lápiz, entonces es uniformemente continua. Con el fin de obtener algo continuo, pero no uniformemente continua, tiene que hacer algo que en realidad no se puede dibujar como ir a infinito en un intervalo abierto o oscilando muy violentamente (como se explica en las otras dos respuestas).