$E$ un Espacio de Banach y $(\varphi_n)\subset E^{\ast}$ tal que $x_n\to0\Rightarrow \sum \varphi_n(x_n)<\infty$

Question

Deje $E$ ser una de Banach espacio vectorial y para cada $n\in \mathbb{N}$ deje $\varphi_n$ ser un elemento de $E^{\ast}$. Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) Para cada secuencia $(x_n)$, lo que tiende a $0$, $\sum_{n=1}^{\infty}\varphi_n(x_n)$ es convergente.

b) $\sum_{n=1}^{\infty}\varphi_n$ es absolutamente convergente.

Para $(b)\Rightarrow (a)$ creo que el siguiente argumento es válido: Si $x_n\to 0$, en particular, $(x_n)$ es un almacén de secuencia. Deje $M$ ser un uper obligado. Por lo tanto,$\sum_{n}\left |\varphi_n(x_n)\right |\leq \sum_{n}\left \|\varphi_n\right \|\left \|x_n\right \|\leq M\sum_{n}\left \|\varphi_n\right \|$, que es finito por la asunción.

Ahora, ¿qué acerca de la $(a)\Rightarrow (b)$? Una cosa que podemos decir es que la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\varphi_n(x_n)$ es una convergencia absoluta: si $x_n\to 0$ luego de tomar $y_n=\text{sgn}(\varphi(x_n))x_n$ (donde $\text{sgn}(x)=1$ si $x\geq 0$ $\text{sgn}(x)=-1$ si $x<0$), tenemos que $y_n\to 0$$\sum_{n=1}^{\infty}\varphi_n(y_n)=\sum_{n=1}^{\infty}|\varphi_n(x_n)|$. (Si el campo es $\mathbb{C}$ podemos tomar una rotación).

No sé cómo continuar. ¿Cómo proceder?

Answer 1

Supongamos $\sum_{n=1}^{\infty} ||\phi_n||=\infty$. Entonces existe una secuencia $\{a_n\}$ de los números positivos disminuye a 0 tal que $\sum_{n=1}^{\infty} a_n||\phi_n||=\infty$. [ Hay un exerecise en Rudin Principios que les dice cómo elegir $a_n$'s]. Existen vectores unitarios $y_n$ tal que $\phi_n (y_n) >\frac 1 2 ||\phi_n||$. Deje $x_n=a_ny_n$. A continuación, $x_n \to 0$ pero $\sum \phi_n(x_n) >\sum \frac {a_n} 2 ||\phi_n||=\infty$ contradiciendo una).