La inmersión de la no-orientable colector en un pequeño orientable uno

Question

Yo estaba tratando de demostrar que el hecho siguiente: dado un no orientable colector $M$ de la dimensión $m$, $M$ siempre está contenido en un orientable colector de dimensión $m+1$. He conseguido nada fuera de ella, por lo que estoy pidiendo. Te advierto que mi fondo no implica charachteristic clases, pero sólo básicos de la geometría diferencial.

Gracias de antemano

Answer 1

Cada colector tiene una "orientación de la cubierta doble" $\tilde M \to M$, cuyos elementos son puntos de $M$ equipada con una orientación en ese punto. Viene equipada con una tautológica de orientación. Si $M$ está conectado, $\tilde M$ está conectado iff $M$ es no orientable.

Dado un (razonable; sin duda esto incluye cada colector, CW complejo, ...) espacio de $X$ hay un bijection isomorfismo entre las clases de la línea real de los fardos, equipado con un fiberwise métrica, y el doble que cubre. El avance mapa está dada por pasar a la subespacio de norma-1 elementos; a la inversa toma el doble de la cubierta, trivializa a través de una cubierta abierta de a $X$, y, a continuación, las construcciones de la línea real de un paquete con la misma transición mapas de $U_i \cap U_j \to \pm 1$.

Ahora pasar de $\tilde M$ a la asociada a la línea real bundle $\ell$, considerado como un suave colector. Esto tiene una orientación: la mayoría de los irritantes parte de la comprobación de esto está en el 0 de la sección. Explícitamente, $T_{m,0}\ell = T_m M \oplus \ell_m$. Elige una base $B$ $T_m M$ y una norma de 1 elemento $o$$\ell_m$; dicen que $(B,o)$ está orientado positivamente si $o$ dice que $B$ está orientado positivamente.

Explícitamente para $\Bbb{RP}^{2n}$, este es el tautológica de la línea de paquete; su espacio total puede ser identificado con $\Bbb{RP}^{2n+1} \setminus \{pt\}$, lo cual es orientable.

Answer 2

Construir una línea de paquete de $E\to M$ tal que la orientación de la fibra, que se invierte a lo largo de un bucle en $M$ si y sólo si la orientación de $M$ sí se invierte a lo largo de ese bucle. A continuación, $M$ está incrustado en $E$ como la sección cero, $E$ es orientable, y tiene la dimensión requerida.

Esto puede ser expresado en términos de la primera Stiefel-Whitney de la clase (si alguna vez ganas de aprender acerca de la característica de las clases).