Tenemos que demostrar que
$$\frac{39}{10}\geq\sum_{cyc}\frac{bc+a+1}{a^2+1}$$ o
$$\frac{39}{10}\geq\sum_{cyc}\frac{bc+a(a+b+c)+1}{a^2+1}$$ o
$$\frac{9}{10}\geq(ab+ac+bc)\sum_{cyc}\frac{1}{a^2+(a+b+c)^2}$$ o
$$9\prod_{cyc}(a^2+(a+b+c)^2)\geq10(ab+ac+bc)\sum_{cyc}(a^2+(a+b+c)^2)(b^2+(a+b+c)^2),$$
para lo cual es suficiente para probar que
$$9\prod_{cyc}(a^2+(a+b+c)^2)\geq10(ab+ac+bc)\sum_{cyc}(a^2+(a+b+c)^2)(b^2+(a+b+c)^2)+$$
$$+\frac{1}{9}\left(\sum_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)\right)^2,$$
que es cierto por uvw.
De hecho, vamos a $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$ y $abc=w^3$.
Ahora, desde la $$\sum_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)=$$
$$=27u^3-27uv^2+3w^3-9uv^2+3w^3+3w^3=9w^3+27u^3-36uv^2,$$
vemos que la última desigualdad es una desigualdad lineal de $w^3$,
el que dice que es suficiente para probar la última desigualdad por un valor extremo de $w^3$,
lo que sucede por la igualdad caso de dos variables.
Desde la última desigualdad es homogénea y aún grado, es suficiente para suponer $b=c=1$,
lo que da
$$9\left(a^2+(a+2)^2\right)\left(1+(a+2)^2\right)^2\geq10(2a+1)\left(2\left(a^2+(a+2)^2\right)(1+(a+2)^2)+\left(1+(a+2)^2\right)^2\right)+$$
$$+\frac{1}{9}(a^3+2-2(a^2+a+1)+3a)^2$$ o
$$(a-1)^2(161a^4+1046a^3+2843a^2+3780a+2250)\geq0,$ $ , que es cierto porque
$$161a^4+1046a^3+2843a^2+3780a+2250=$$
$$=a^2(17a^2+14a+4)+(12a^2+43a+30)^2+30(9a^2+40a+45)>0.$$
Hecho!
Una prueba de que la desigualdad
$$9\prod_{cyc}(a^2+(a+b+c)^2)\geq10(ab+ac+bc)\sum_{cyc}(a^2+(a+b+c)^2)(b^2+(a+b+c)^2)+$$
$$+\frac{1}{9}\left(\sum_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)\right)^2,$$
es una desigualdad lineal de $w^3$.
$$9\prod_{cyc}(a^2+(a+b+c)^2)=9\prod_{cyc}(a^2+9u^2)=9w^6+A(u,v^2)w^3+B(u,v^2),$$
$$10(ab+ac+bc)\sum_{cyc}(a^2+(a+b+c)^2)(b^2+(a+b+c)^2)=C(u,v^2)w^3+D(u,v^2)$$ y
$$\frac{1}{9}\left(\sum_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)\right)^2=$$
$$=\frac{1}{9}\left(27u^3-36uv^2+9w^3\right)^2=9w^6+E(u,v^2)w^3+F(u,v^2),$$
donde $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ son polinomios de $u$ $v^2$ solamente.
Vemos que $9w^6$ cancelado y se obtiene una desigualdad lineal de $w^3$.
Acerca de uvw ver aquí:
https://math.stackexchange.com/tags/uvw/info
y aquí:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h278791
Hay un más fáciles de la prueba:
$$\frac{39}{10}-\sum_{cyc}\frac{bc+a+1}{a^2+1}=\sum_{cyc}\left(\frac{13}{10}-\frac{bc+a(a+b+c)+(a+b+c)^2}{a^2+(a+b+c)^2}\right)=$$
$$=\sum_{cyc}\frac{6a^2+3b^2+3c^2-4ab-4ac-4bc}{10(a^2+1)}=$$
$$=\sum_{cyc}\frac{(a-b)(3a-3b+2c)-(c-a)(3a-3c+2b)}{10(a^2+1)}=$$
$$=\sum_{cyc}(a-b)\left(\frac{3a-3b+2c}{10(a^2+1)}-\frac{3b-3a+2c}{10(b^2+1)}\right)=$$
$$=\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(3a^2+3b^2-2ac-2bc+6)}{10(a^2+1)(b^2+1)}\geq$$
$$\geq\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(\frac{3}{2}(a+b)^2-2(a+b)c+6)}{10(a^2+1)(b^2+1)}=$$
$$=\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(3(1-c)^2-4(1-c)c+12)}{20(a^2+1)(b^2+1)}=\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(7c^2-10c+15)}{20(a^2+1)(b^2+1)}\geq0.$$
