En una conjetura de que si $2\left(p_n+p_{n-1}\right)\equiv -1\pmod {n^2}$ $n=11$ solamente.

Question

Conjetura:

Denotamos por a $p_n$ $n^{\text{th}}$ número primo. Si $2\left(p_n+p_{n-1}\right)\equiv -1\pmod {n^2}$, $n=11$ solamente.

Cómo debe ser capaz de demostrar / desmentir este supuesto reclamo? Yo había llegado con esta conjetura, pero estoy un poco atascado en el intento de demostrarlo.

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Intento:

Sé que la congruencia puede ser escrito de forma similar como, $2\left(p_n+p_{n-1}\right) = mn^2 - 1$ algunos $m\in\mathbb{Z}$, el conjunto de todos los números enteros. Sin embargo, voy a considerar el caso en que $m=1$, o donde $2\left(p_n+p_{n-1}\right)$ $ = (n+1)(n-1)$. Por supuesto, ahora, nos encontramos con que $n$ debe ser impar y mayor que $1$.

Reemplace$n$$n_k$, es decir, el $k^\text{th}$ número impar. A continuación, $$\frac{n_k+1}{2} = k \ \land \ \frac{n_k-1}{2} = k-1.\tag{$\de la tierra$ is read as $y$}$$ Therefore, $p_{n_k}+p_{n_k-1} = k(n_k-1) = (k-1)(n_k+1)$. This means that $\left\{k,k-1\right\}\mid p_{n_k} + p_{n_k-1}$. So, $p_{n_k}+p_{n_k-1}$ has to be squarefree, leaving out primes $3$ and $5$ since $5+3=8=2^3$ and also $17$ and $19$ since $19+17=36=6^2$.

No sé a dónde ir desde aquí. Estoy tomando el enfoque correcto? Hay algo importante que debo saber lindan números primos (por ejemplo, cualquier lemas y tal) que serán útiles en la (dis)prueba de mi conjetura? Las sugerencias son en su mayoría apreciado, pero puede proporcionar un completo y divulgada respuesta si lo desea.

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Gracias de antemano.

Answer 1

No es una respuesta completa debido a mi falta de límites explícitos, pero se muestra el conjunto de los números es finito.

En orden para $2\left(p_n + p_{n-1}\right) \equiv -1 \pmod {n^2}$, es necesario que exista una $k \in \mathbb{Z}$ tal que $2\left(p_n + p_{n-1}\right) = kn^2 - 1$.

En particular, esto significa que $$\frac{2\left(p_n + p_{n-1}\right)+1}{n^2}=k$$ es un número entero.

Por otro lado, desde el Primer Número Teorema tenemos la estimación de $p_n \sim n\log n$, lo que significa que $$\frac{2\left(p_n + p_{n-1}\right)+1}{n^2} \sim\frac{4n\log n}{n^2} = \frac{4 \log n}{n}$$

Esto significa que la secuencia converge a$0$, por lo que hay algunos finito $N$ para que la secuencia se mantiene estrictamente entre el $0$ $1$ todos los $n \geq N$. Por lo tanto no puede ser sólo un número finito de casos donde la deseada igualdad se mantiene.

Una Wolfram Alpha parcela parcela apoya la conjetura.

EDITAR:

De forma más explícita límite superior de la Wikipedia da la explícita límite superior válido para $n \geq 6$: $$p_n \lt n(\log n + \log \log n)$$

Utilizando este resultado nos encontramos con que $$\frac{2\left(p_n + p_{n-1}\right)+1}{n^2} \lt \frac{5p_n}{n^2} \lt \frac{5n(\log n + \log \log n)}{n^2} = 5\frac{\log n + \log \log n}{n} \lt 1$$ for $n \geq 21$ so it is sufficient to verify the conjecture for all $2 \leq n \leq 20$.