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Question

Supongo que $g$ es función infinitamente diferenciable tal que para todo natural $n$, existe $c_n$ y $\delta_n$ tal eso si $|x|

¿Alguien podría proporcionar una pista de dónde empezar? Yo estaba pensando una prueba por la inducción, pero incluso en el caso base se me escapa.

Answer 1

Supongamos que usted ha demostrado que $g^{(k)} (0)=0$ $k \leq n$. Por expansión de Taylor de forma integral de resto tenemos $\frac 1 {n!} \int_0^{x} (x-t)^{n} g^{(n)} (t)dt =g(x)$. Supongamos que $g^{(n)}(0)>0$. A continuación tenemos algunos barrio de $\frac 1 {n!} \int0^{x} (x-t)^{n} dt \leq D{n+2}|x|^{n+2}$ $0$ donde $D{n+2} =2\frac {C{n+2}} {g^{(n)}(0)}$. [Aquí $x>0$ es tan pequeño que $g^{(n)}(t) >\frac {g^{(n)}(0)} 2$ $t \in (0,x)$]. Esto da $x^{n+1} \leq Cx^{n+2}$ $C$ en un intervalo $(0,\delta)$ que es una contradicción constante. Del mismo modo, $g^{(n)}(0)